蓝桥杯-特殊的三角形（dfs/枚举/前缀和)

思路分析

深度优先搜索（DFS）思路

1. 定义与参数说明
   • dfs 函数中，last 记录上一条边的长度，用于保证新选边长度大于上一条边，实现三边互不相等 。cnt 记录已选边的数量，当 cnt 达到 3 时，就构成了一个三角形。sum 是已选边的长度总和，mul 是已选边长度的乘积。
   • pre 数组是前缀和数组，pre[i] 表示值小于等于 i 的三角形的数量。
2. 递归过程
   • 从 last + 1 开始枚举新边长度 i 。若 i * mul > 1000000 ，说明后续乘积会超出范围，直接返回，不再继续搜索。
   • 当 cnt == 2 时，若 sum <= i ，不满足三角形任意两边之和大于第三边的条件，返回。
   • 满足条件则递归调用 dfs ，更新参数继续寻找下一条边 。当 cnt == 3 时，说明构成了一个三边互不相等的三角形，将 pre[mul] 加 1 。
3. 前缀和处理与查询
   • DFS 完成后，通过遍历让 pre[i] += pre[i - 1] ，构建前缀和数组。
   • 对于每个询问区间 [l, r] ，利用前缀和 pre[r] - pre[l - 1] 快速得到值在该区间内的三角形数量。

枚举思路

1. 三层循环枚举三边
   • 最外层循环枚举最短边 i ，限定条件 i * i * i < N ，因为当三边相等且为 i 时，乘积为 i * i * i ，超过 N 就没必要枚举了。
   • 中间层循环枚举次长边 j ，限定条件 i * j * j < N ，保证三边乘积不超范围，且 j > i 确保三边不等。
   • 最内层循环枚举最长边 k ，条件 i * j * k < N 保证乘积不超范围，k < i + j 满足三角形三边关系。在满足条件时，将 a[i * j * k] 加 1 ，a 数组记录值为 i * j * k 的三角形出现次数。
2. 前缀和处理与查询
   • 遍历让 pre[i] = pre[i - 1] + a[i] ，构建前缀和数组。
   • 对于每个询问区间 [l, r] ，同样利用前缀和 pre[r] - pre[l - 1] 计算值在该区间内的三角形数量。

dfs代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n,pre[1000005];
void dfs(int last,int cnt,int sum,int mul){
    if(cnt==3){
        pre[mul]++;
        return;
    }
    for(int i=last+1;i<=1000000;++i){
        if(i*mul>1000000)return;
        if(cnt==2&&sum<=i)return;
        dfs(i,cnt+1,sum+i,i*mul);
    }
}

signed main()
{
    cin>>n;
    dfs(0,0,0,1);
    for(int i=1;i<=1000000;++i){
        pre[i]+=pre[i-1];
    }
    while(n--){
        int l,r;
        cin>>l>>r;
        cout<<pre[r]-pre[l-1]<<'\n';
    }
    return 0;
}

 枚举代码：

#include<iostream>
using namespace std;
int a[1000005],pre[1000005],n;
const int N=1e6+1;
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i*i*i<N;i++)
    {
        for(int j=i+1;i*j*j<N;j++)
        {
            for(int k=j+1;i*j*k<N&&k<i+j;k++)
            {
                a[i*j*k]++;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        pre[i]=pre[i-1]+a[i];
    }
    while(n--)
    {
        int l,r;
        cin>>l>>r;
        cout<<pre[r]-pre[l-1]<<'\n';
    }
    return 0;
}