数学分析复习：实数项级数的收敛

本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用

实数项级数收敛

1. 定义、性质

定义：实数项级数收敛
设实数项级数 $\sum _{i=1}^{\infty }{a}_i$，设部分和 $x_n=\sum _{i=1}^n{a}_i$
若 { x n } \{x_n\} {xn​}收敛，则称级数 $\sum _{i=1}^{\infty }{a}_i$ 收敛，记 $\sum _{i=1}^{\infty }{a}_i=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$
若 { x n } \{x_n\} {xn​}发散，则称级数 $\sum _{i=1}^{\infty }{a}_i$ 发散

例子

1. 调和级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{m}$ 是发散级数
   证明思路：只需注意到
   $$\begin{array}{rl}\sum _{j=1}^{n-1}\frac{1}{j}=& \frac{1}{1}+(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})+(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7})+\cdots \\ & +(\frac{1}{2^{k-1}}+\frac{1}{2^{k-1}+1}+\cdots +\frac{1}{2^k-1})\\ >& 1\times \frac{1}{2}+2\times \frac{1}{4}+\cdots +2^{k-1}\times \frac{1}{2^k}\\ =& \frac{k}{2}\end{array}$$
2. 几何级数（等比级数）$\sum _{n=1}^{\infty }{q}^{n-1}$ 当 $|q|<1$ 时收敛
3. $p$ 级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}$ 当 $p>1$ 时收敛

2. 实数项级数的Cauchy收敛准则

级数$\sum _{k=0}^{\infty }{a}_k$收敛当且仅当
$$\forall \epsilon >0,\exists N>0,\forall n\ge N,p\in {\mathbb{N}}_{\ge 0},|\sum _{n\le k\le n+p}|a_k|<\epsilon$$注：上述准则说明$\sum _{k=0}^{\infty }{a}_k$收敛的必要条件是 $a_n\to 0$

3. 正项级数的收敛判别法

称每一项 $a_n$ 均大于0的级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n$ 为正项级数

以下均为正项级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n$ 的收敛判别法

3.1 控制收敛定理（比较判别法）

设正项级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n$ 和 $\sum _{n=0}^{\infty }{b}_n$，设对任意 $n\ge 0$，都有 $a_n\le b_n$，如果$\sum _{n=0}^{\infty }{b}_n$ 收敛，那么 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n$ 也收敛

注：等价叙述是若$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n$发散，那么$\sum _{n=0}^{\infty }{b}_n$也发散

3.2 Cauchy判别法：

设 $r=\underset{n\to \infty }{\overline{\lim }}\sqrt[n]{a_n}$

• $r<1$ ，则收敛
• $r>1$ ，则发散
• $r=1$ ，则判别法失效

证明思路：
利用上极限的等价刻画去证

推论
$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n$ 收敛，则 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n^2$ 收敛；反之未必

3.3 d’Alembert（达朗贝尔）判别法

设 $\overline{r}=\underset{n\to \infty }{\overline{\lim }}\frac{a_{n+1}}{a_n},\underline{r}=\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}\frac{a_{n+1}}{a_n}$

• $\overline{r}<1$ ，则收敛
• $\underline{r}>1$ ，则发散
• $\overline{r}\ge 1$ 或 $\underline{r}\le 1$，则判别法失效

证明思路：
利用上极限的等价刻画去证

注：Cauchy判别法比d’Alembert判别法适用范围更广，但d’Alembert判别法的条件更容易得到

3.4 Raabe（拉贝）判别法

设 $r=\underset{n\to \infty }{\lim }n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)$

• $r>1$，则收敛
• $r<1$，则发散

注：当Cauchy判别法和d’Alembert判别法均失效的时候，可能采取Raabe判别法会有效

3.5 积分判别法

设 $f(x)\ge 0$，且在任意有限区间 $[a,A]$ 上 Riemann 可积，则 ${\int }_a^{\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 与 $\sum _{n=1}^{\infty }{\mu }_n$ 同时收敛或发散，其中
$${\mu }_n={\int }_{a_n}^{a_{n+1}}f(x)\mathrm{d}x$$ $a_n$ 是以 $a$ 为首项的单调递增趋于正无穷的实数列

3.6 单调有界数列必收敛应用到级数上

$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n$ 是正项级数，那么 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n$ 收敛当且仅当存在常数M，使得对任意 $k$ ，$S_k=\sum _{n=0}^k{a}_n\le M$

4. 绝对收敛的级数

定义：绝对收敛
设级数$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n$，若 $\sum _{n=0}^{\infty }|a_n|$ 收敛，则 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n$ 收敛，此时称 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n$ 是绝对收敛的

证明：Cauchy收敛准则易证

若 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n$ 收敛，但 $\sum _{n=0}^{\infty }|a_n|$ 不收敛，则称 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n$ 条件收敛

定义：级数的正部和负部
$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n^{+}$：$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n$ 中的所有正项加和得到的级数
$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n^{-}$：$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n$ 中的所有负项变号加和得到的级数

命题
若 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n$ 绝对收敛，则 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n^{+}$ 和 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n^{-}$ 均收敛
若 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n$ 条件收敛，则 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n^{+}$ 和 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n^{-}$ 均发散

证明思路：
结论1：注意到 $0\le x_n^{+},x_n^{-}\le |x_n|$
结论2：反证法，注意到 $|x_n|=x_n^{+}+x_n^{-}$

命题
绝对收敛的级数任意调换各项的顺序仍绝对收敛，且值不变

证明思路：
用到先特殊再一般的技巧：先考虑正项级数的情形，再对一般情形进行正部和负部的拆分

命题
若 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n$ 条件收敛，则对任意 a ∈ R ∪ { ∞ } a\in\mathbb{R}\cup \{\infty\} a∈R∪{∞}，存在一个调换过$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n$各项顺序的级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n^{\prime }$，使得 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n^{\prime }=a$

5. 振荡型级数的收敛判别

形如 $\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}{a}_n(a_n>0)$ 的级数称为振荡级数（或称交错级数）

直观上，振荡型级数说的是级数各项有正有负，求和的时候可以相互抵消，故可能收敛

命题：Abel 求和公式
设复数列 { a k } k ≥ 1 \{a_k\}_{k\geq 1} {ak​}k≥1​ 和 { b k } k ≥ 1 \{b_k\}_{k\geq 1} {bk​}k≥1​，则
$$\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k=S_n{b}_n+\sum _{k=1}^{n-1}{S}_k(b_k-b_{k+1})$$
其中 $S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$ 表示部分和

证明
只需将 $a_k$ 替换为 $S_k-S_{k-1}$，然后合并同类项即可

注：该公式即为离散版本的分部积分公式

命题：Dirichlet判别法
设实数列 { a k } , { b k } \{a_k\},\{b_k\} {ak​},{bk​}， $S_n$ 表示 { a k } \{a_k\} {ak​} 的部分和，若

1. { b k } \{b_k\} {bk​} 是单调数列且 $\underset{k\to \infty }{\lim }{b}_k=0$
2. 存在 $M$，使得对任意 $n\ge 1$，$|S_n|\le M$

则级数 $\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k$ 收敛

证明思路（级数的Cauchy收敛准则）
不妨假设 { b k } \{b_k\} {bk​} 单调递减，由 abel 求和法，任取 $m\ge n$，有
$$\begin{array}{rl}|\sum _{k=n+1}^m{a}_k{b}_k|& =|(S_m{b}_m-S_n{b}_n)+\sum _{k=n}^{m-1}{S}_k(b_k-b_{k+1})|\\ & \le M|b_m-b_n|+|M||\sum _{k=n}^{m-1}(b_k-b_{k+1})|\\ & =2M(b_n-b_m)<\epsilon \end{array}$$

推论：Abel判别法
设实数列 { a k } , { b k } \{a_k\},\{b_k\} {ak​},{bk​}，若

1. { b k } \{b_k\} {bk​} 单调有界
2. 级数 $\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k$ 收敛

则级数 $\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k{b}_k$ 收敛

证明思路
设 $b=\underset{k\to \infty }{\lim }{b}_k$，则有
$$\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k{b}_k=\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k(b_k-b)+b\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k$$
等号右端第一个级数用Dirichlet判别法立得

定义：Leibniz级数
称满足 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$ 的振荡级数 $\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}{a}_n$ 为Leibniz 级数

性质

• $0\le \sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}{a}_n\le a_1$
• $\sum _{n=k+1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}{a}_n\le a_{k+1}$

Leibniz 判别法（Dirichlet判别法的推论）
Leibniz 级数必然收敛

参考书：

• 《数学分析》陈纪修 於崇华 金路
• 《数学分析之课程讲义》清华大学数学系及丘成桐数学中心
• 《数学分析习题课讲义》谢惠民 恽自求 易法槐 钱定边 著