剑指Offer49 -- DP_贪心

1. 题目描述

丑数

2. 思路

很明显，丑数就是 $2,3,5$ 的乘积组合。
最一开始，我竟然傻傻的 $dfs$ + $set$ 来求解，其实仔细想想，$dfs$ 肯定是不行的，因为 $dfs$ 会一条路走到黑。
理想情况下，我们希望每个丑数都按位置放置，而不是跳着来的，例如，$6$ 之后的丑数应该是 $8$，而不是 $9$。
对于下一个丑数来说，他只有三种可能：

pre1 * 2;
pre2 * 3;
pre3 * 5;

pre1, pre2, pre3 可能是不同的数。我们希望每次都选取这个组合的最小值，并且刚好是下一个丑数。
那么我们就需要保证，pre1，pre2，pre3 不能大了，也不能小，并且它们都是一个个整数。
好吧，我承认我的论述有点乱，从实际的例子出发好了。
最开始，有一个特殊的丑数 $1$，从 $1$ 出发，有：

1 * 2 = 2;
1 * 3 = 3;
1 * 5 = 5;

我们应该选择 $2$，那么，此时 $pre1$ 也就是 $1\ast 2$ 中的 $1$ 就要编程 $2$ 了，$2$ 就是 $1$ 之后的最近的丑数。即：

2 * 2 = 4;
1 * 3 = 3;
1 * 5 = 5;

此时我们应该选择 $3$，那么，又变成：

2 * 2 = 4;
2 * 3 = 6;
1 * 5 = 5;

选择 $4$，变成；

3 * 2 = 6;
2 * 3 = 6;
1 * 5 = 5;

选择 $5$，变成：

3 * 2 = 6;
2 * 3 = 6;
2 * 5 = 10;

选择 $6$，但是此时有两个 $6$ 同时出现，我们同时修改 $pre2$ 和 $pre3$，因为不可以重复：

4 * 2 = 8;
3 * 3 = 9;
2 * 5 = 10;

那么，自然而然的，我们可以通过一种类似三指针的方式，求解。

3. 代码

class Solution {
public:
    int nthUglyNumber(int n) {
        int f[n + 10];
        f[0] = 1;
        int pre1 = 0, pre2 = 0, pre3 = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
            int a = f[pre1] * 2, b = f[pre2] * 3, c = f[pre3] * 5;
            int minx = min({a, b, c});
            f[i] = minx;
            // 注意下面不能都用if-else
            // 因为丑数不可以重复出现
            if(a == minx)   pre1 ++ ;
            if(b == minx)   pre2 ++ ;
            if(c == minx)   pre3 ++ ;
        }
        return f[n - 1];
    }
};

4. 思路2，贪心 + 优先队列 + set

思路就是，每次选取一个最小值 $x$ ，将它发展出来的三个丑数 $x\ast 2$, $x\ast 3$, $x\ast 5$ 放到优先队列当中。
然后，将每次从优先队列取出来的数放到哈希表中，当放入哈希表中的数的个数为 $n$ 时，就表示我们取出来最小的 $n$ 个丑数。
然后，就是注意去重就行了。

5. 代码

class Solution {
public:
    int nthUglyNumber(int n) {
        priority_queue<long long, vector<long long>, greater<long long>> q;
        unordered_set<int> s;
        int start = 1;
        q.push(start);
        while(q.size()) {
            auto t = q.top();   q.pop();
            if(s.count(t))  continue;   // 去重
            s.insert(t);
            if(s.size() == n)   return t;
            q.push(t * 2);
            q.push(t * 3);
            q.push(t * 5);
        }
        return -1;
    }
};

6. 总结

其实呢，这题，想到是不太好想，看别人的分析也不太容易看懂，但是看代码就一看就懂了。
其实这题，就像贪心，因为丑数只能从另一个丑数通过 pre1*2,pre2*3,pre3*5(pre都是丑数)，的方式得到，因此，找出 $n$ 个丑数时很容易的。
难点在于，如何保证这 $n$ 个丑数恰好是最小的 $n$ 个呢？贪心呗！
如果，我们希望通过 pre1*2,pre2*3,pre3*5 得到的丑数尽可能的小，那么，pre1, pre2, pre3 当然也要尽可能的小，那么，我们就每次枚举最小的 pre。
如果使用过了，就要增大 pre，并且我们希望增大的幅度近可能的小，那么与 $pre$ 相邻的那个丑数就是最好的选择了！
另外，当我们需要增加 $pre$ 时，与 $pre$ 相邻的丑数一定存在，因为只要增大，就意味着我们找到了一个新的丑数。