剑指Offer62 -- 约瑟夫环

1. 题目描述

圆圈中最后剩下的数字

2. 约瑟夫环

人们站在一个等待被处决的圈子里。 计数从圆圈中的指定点开始，并沿指定方向围绕圆圈进行。 在跳过指定数量的人之后，处刑下一个人。 对剩下的人重复该过程，从下一个人开始，朝同一方向跳过相同数量的人，直到只剩下一个人，并被释放。

3. 思路

下面主要是对参考题解的补充说明。
现在正式开始😊

我们现在假设有一个长度为 $n$ 的数组 $a$，数组下标从 $0$ 开始，每数 $m$ 个数就删除当前位置的元素，直到只剩下一个元素。第一次删除 $a[k]$, $k=(m-1)\%n$（考虑$m>n$的情况），那么删除 $a[k]$，之后，原数组就变成了：
$a[k+1],a[k+2],...,a[n-1],a[0],a[1],...a[k-1]$（到了头就重新从下标 $0$ 处开始）
仔细看的话，这里，我们没有标明 $a[k]$，说明它的确被删除了。
哎，你可能会问，怎么可能真的把它删除了啊（况且代码中确实没有“删除”动作），我们在模拟的时候，对于“删除”的元素，都是跳过，既然都跳过了，说明它的的确确真真实实的存在啊！
错了！此删除非彼删除！先别急！
现在，我们删除了一个元素，新数组就是上面的样子，我们需要删除第二个元素，但是，他的位置不是 $k=(m-1)\%n$ 了，而是 $k=(m-1)\%(n-1)$。
删除位置的变化非常非常关键！我们通过缩减数组的大小，使得我们通过忽略 $a[k]$ 以达到删除 $a[k]$ 的目的，因为 $a[k]$ 如果存在的话，它就在 $a[k-1]$ 的后面，也就是长度为 $n$ 的数组的最后一个元素，但是现在数组长度为 $n-1$ 了，所以 $a[k]$ 不就相当于被删除了吗？
往下同理，当我们删除了 $cnt$ 个元素之后，$k=(m-1)\%(n-cnt)$。

好了，我们已经解释完了，通过什么样的方法来实现模拟过程中跳过被删除的元素，就是把它放到数组末尾，然后删除。
但是！问题来了！虽然说，我们可以找到 $k$ 的位置，但是你没办法把数组 $a$ 转换为下面形式：
删除一个元素之后的新数组：$a[k+1],a[k+2],...,a[n-1],a[0],a[1],...a[k-1]$
因为，$a[0]$ 就是 $a[0]$，$a[k+1]$ 就是 $a[k+1]$，你说 原数组中的 $a[k+1]$ 相当于 新数组的 $a[0]$，他就是新数组中的 $a[0]$ 啊？

确实，我们假象，删除一个元素后，新数组的头是原数组的 $a[k+1]$，但是事实是残酷的，数组的头仍然是原数组的 $a[0]$
那么，有问题就解决问题，怎么办呢？最简单的办法，用一个 $for$ 循环移动元素，让 $a[0]$ 真的等于 $a[k+1]$
但这也太笨了！$offer$ 是留给不走寻常路之人的！
我们可以通过映射大法，虚假的让原数组的 $a[k+1]$ 等于新数组的 $a[0]$，因为新数组的理论下标是连续的（从 $0$ 到 $n-2$）
我们指望被映射的下标也是连续的（取模意义下）:$k+1,k+2,...n-1,0,1,...k-1$
既然两个数组都是连续的，我们当然可以将我们希望的数组下标(从 $k+1$ 开始的)映射到实际的数组下标(从 $0$ 开始的)了！

接下来映射部分参考题解就好了！

总之，思路很简单！只需要搞清楚两个问题：

1. 如果模拟删除行为
2. 如何将被删除元素的下一个位置开始的元素作为数组的第一个元素

另外，你可能会问为啥我们必须要映射呢？我们设置一个变量$startIndex=k+1$，然后让他递增（取模状态下）不久好了？这样不也能实现映射的行为吗？
也就与我们递归的意义有关了。
我们的递归函数 $lastRemaining(intn,intm)$ 表示，删除从 $0$ 到 $n-1$ 一共 $n$ 个元素中的 $m$ 个数，最后剩下的数。
他的第一个数就是 $0$，最后一个数就是 $n-1$。。。

4. 代码

class Solution {
public:
    int lastRemaining(int n, int m) {
        if(n == 1)  return 0;
        return (lastRemaining(n - 1, m) + m) % n;
    }   
};

5. 参考

数学推理–映射

6. 其它题目

求出队序列