求最大公约数与最小公倍数

求最大公约数（GCD）与最小公倍数（LCM）

1. 基本概念

• GCD（最大公约数）：两个整数的最大公共因数
• LCM（最小公倍数）：两个整数的最小公共倍数
• 数学关系：LCM(a,b) = (a × b) / GCD(a,b)

2. C++实现方法

方法一：使用STL的gcd函数（C++17起）

#include <iostream>
#include <numeric> // 包含gcd和lcm函数

int main() {
    int a = 56, b = 98;
    
    // C++17标准库函数
    int gcd_result = std::gcd(a, b);
    int lcm_result = std::lcm(a, b);
    
    std::cout << "数字: " << a << " 和 " << b << "\n";
    std::cout << "GCD: " << gcd_result << "\n";
    std::cout << "LCM: " << lcm_result << "\n";
    
    return 0;
}

方法二：自定义实现（欧几里得算法 / 辗转相除法）

欧几里得算法基于以下核心原理：
两个整数的最大公约数（GCD）等于其中较小数与两数相除余数的最大公约数
数学表达式：
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
持续递归/迭代，直到余数为0时，此时的除数即为最大公约数

关键引理

若 a = b*q + r（其中 q 是商，r 是余数），则：
gcd(a, b) = gcd(b, r)

证明过程

1. 设 d = gcd(a, b)，则 d|a 且 d|b（d能整除a和b）
2. 因为 r = a - b*q，所以 d|r（d也能整除余数）
3. 因此d是b和r的公约数
4. 反过来证明gcd(b,r)也是a和b的公约数
5. 故两者相等

#include <iostream>
#include <cstdlib> // 用于abs函数
using namespace std;

// 递归实现GCD
int gcd(int a, int b) 
{
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); //被除数b如果等于0那么就返回a，不等于0就返回b除a%b
}

// 迭代实现GCD
int gcd_iterative(int a, int b) 
{
    while (b) {
        a %= b;
        swap(a, b);
    }
    return a;
}

// 计算LCM
int lcm(int a, int b) 
{
    return abs(a * b) / gcd(a, b);
}

int main() {
    int x = 56, y = 98;
    
    cout << "自定义实现:\n";
    cout << "GCD(" << x << ", " << y << ") = " << gcd(x, y) << "\n";
    cout << "LCM(" << x << ", " << y << ") = " << lcm(x, y) << "\n";
    
    return 0;
}

注意事项
处理负数：建议先取绝对值
处理零值：gcd(a,0) = |a|，lcm(a,0) = 0
溢出问题：大数计算时考虑使用long long

补充：二进制GCD算法（Stein算法）

迭代版

int binary_gcd(int a, int b) {
    if (a == 0) return b;
    if (b == 0) return a;
    
    // 移除公共的2因子
    int shift = __builtin_ctz(a | b);
    a >>= __builtin_ctz(a);
    
    do {
        b >>= __builtin_ctz(b);
        if (a > b) swap(a, b);
        b -= a;
    } while (b != 0);
    
    return a << shift;
}

递归版

int binary_gcd(int a, int b) {
    if (a == b) return a;
    if (a == 0) return b;
    if (b == 0) return a;
    
    if (~a & 1) {  // a是偶数
        if (b & 1) // b是奇数
            return binary_gcd(a >> 1, b);
        else       // 都是偶数
            return binary_gcd(a >> 1, b >> 1) << 1;
    }
    
    if (~b & 1)    // a奇b偶
        return binary_gcd(a, b >> 1);
        
    // 都是奇数
    return (a > b) ? binary_gcd((a-b)>>1, b) 
                   : binary_gcd((b-a)>>1, a);
}