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动态规划（10.地下城游戏）

news 来源：原创 2025/6/8 10:14:28

174. 地下城游戏 - 力扣（LeetCode）

这道题如果我们定义成：从起点开始，到达 [i, j] 位置的时候，所需的最低初始健康点数。

那么我们分析状态转移的时候会有⼀个问题：那就是我们当前的健康点数还会受到后⾯的路径的影响。也就是从上往下的状态转移不能很好地解决问题。

这个时候我们要换⼀种状态表示：从 [i, j] 位置出发，到达终点时所需要的最低初始健康点数。这样我们在分析状态转移的时候，后续的最佳状态就已经知晓。

综上所述，定义状态表示为：

dp[i][j] 表示：从 [i, j] 位置出发，到达终点时所需的最低初始健康点数。

对于 dp[i][j] ，从 [i, j] 位置出发，下⼀步会有两种选择（为了⽅便理解，设 dp[i] [j] 的最终答案是 x ）：

i. 走到右边，然后走向终点

那么我们在 [i, j] 位置的最低健康点数加上这⼀个位置的消耗，应该要⼤于等于右边位置的最低健康点数

也就是： x + dungeon[i][j] >= dp[i][j + 1] 。通过移项可得： x >= dp[i][j + 1] - dungeon[i][j] 。因为我们要的是最小值，因此这种情况下的 x = dp[i][j + 1] - dungeon[i][j] ；

ii. ⾛到下边，然后走向终点

那么我们在 [i, j] 位置的最低健康点数加上这⼀个位置的消耗，应该要大于等于下边位置的最低健康点数，也就是： x + dungeon[i][j] >= dp[i + 1][j] 。

通过移项可得： x >= dp[i + 1][j] - dungeon[i][j] 。因为我们要的是最小值，因此这种情况下的 x = dp[i + 1][j] - dungeon[i][j] ；

综上所述，我们需要的是两种情况下的最小值，因此可得状态转移⽅程为：

dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) - dungeon[i][j]

但是，如果当前位置的 dungeon[i][j] 是⼀个比较⼤的正数的话， dp[i][j] 的值可能变

成 0 或者负数。也就是最低点数会小于 1 ，那么骑⼠就会死亡。因此我们求出来的 dp[i][j] 如果小于等于 0 的话，说明此时的最低初始值应该为 1 。处理这种情况仅需让 dp[i][j] 与 1 取⼀个最大值即可：

dp[i][j] = max(1, dp[i][j])

可以在最前面加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：

在本题中，在 dp 表最后⾯添加⼀行，并且添加⼀列后，所有的值都先初始化为无穷大，然后让dp[m][n - 1] = dp[m - 1][n] = 1 即可。

根据「状态转移方程」，我们需要「从下往上填每⼀⾏」，「每⼀⾏从右往左」。

根据「状态表示」，我们需要返回 dp[0][0] 的值。

健康点的双重约束：
- 我们需要同时考虑：
  a . 路径上的累计伤害（当前生命值）
  b. 整个路径中遇到的最低生命值（决定初始生命需求）
- 从左上到右下无法同时跟踪这两个信息
路径依赖的方向性问题：
- 当前房间的最低初始生命值取决于后面的路径（未来要面对的危险）
- 比如一个房间，如果后面有大量治疗，可以允许当前生命值较低；如果后面有大量伤害，则需要更高初始生命
局部最优不等于全局最优：
- 传统DP假设前面的选择不会影响后面的决策
- 但在这里，前面的路径选择会影响后面所需的最低初始生命

逆向动态规划有效的关键原因：

已知终点需求：
- 公主所在的右下角房间：至少需要1点生命值（如果dungeon[m-1][n-1] ≥ 0）
- 或者 1 - dungeon[m-1][n-1]（如果为负）
逆向推导安全值：
- 对于每个房间，计算"从该房间到终点所需的最小初始生命值"
- dp[i][j] = max(1, min(dp[i+1][j], dp[i][j+1]) - dungeon[i][j])
确保全程存活：
- 每个房间的值保证骑士能活着走到终点
- 考虑了后续路径的所有可能危险