P1722 矩阵Ⅱ - 洛谷
题源：P1722 矩阵 II - 洛谷
看了题目之后，需要注意的是：
①在1 ~ i 个格子中红色数量 >= 黑色数量
②最后，在2 * n 个格子中，红色数量 == 黑色数量
根据这两个约束条件，可以知道，第一个格子必须是红色
第一种解法：动态规划
使用组合数学中递推思想
统计方案数目，就是最简单的动态规划。
可以按照下面的方法进行分析：
1. 问题建模
-
问题描述：
在2n个算筹中放置n个红色算筹，满足 任意前i个算筹中红色算筹数≥ ⌈i/2⌉（即红色算筹始终不少于半数）。 -
DP状态定义：
dp[i][j]表示前i个算筹中放置j个红色算筹的合法方案数。
2. 动态规划转移方程
-
递推关系：
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-1]-
dp[i-1][j]：第i个算筹不选红色（即选黑色）。 -
dp[i-1][j-1]：第i个算筹选红色。 -
在循环里面写着一步的时候就可以加上 模 100了。
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-
约束条件：
j ≥ ⌈i/2⌉，确保任意前缀中红色算筹数满足要求。
3. 算法核心逻辑
-
初始化：
dp[1][1] = 1，表示第一个算筹必须为红色（因为⌈1/2⌉ = 1）。 -
递推填充DP表：
-
外层循环遍历算筹总数
i（从 2 到2n）。 -
内层循环遍历红色算筹数
j（从⌈i/2⌉到i）。
-
-
结果输出：
dp[2n][n]表示2n个算筹中放n个红色算筹的合法方案数。
AC代码：
#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<string>
using namespace std;
int dp[510][510];
int main()
{
int n;
cin>>n;
dp[1][1] = 1;
for(int i = 2;i <= 2 * n;i++)
{
for(int j = 1;j <= i;j++)
{
if(j >= (i + 1) / 2)
{
dp[i][j] = (dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - 1]) % 100;
}
}
}
printf("%d",dp[2*n][n]);
return 0;
} 第二种解法：卡特兰数
卡特兰数是一系列自然数，其第n项的公式为：
其中C0 = 1, C1 = 1, C2 = 2, C3 = 5, C4 = 14, C5 = 42, C6 = 132, C7 = 429....
关于它的一些公式：
有通项公式推出递推公式相对其他数学公式而言较简单，可以自证。
2.卡特兰数代码实现
f[0] = f[1] = 1;
for(int i = 2;i <= n;i++)
{
for(int j = 0;j < i;j++)
{
f[i] += f[j] * f[i - 1 - j]; // 递推公式2
}
}3. 为什么这道题可以使用卡特兰数
因为卡特兰数常用场景是：
①出栈次序：假设有一个栈，将数字 1,2,…,n 按顺序依次入栈，允许在任意时刻出栈。求所有可能的 出栈序列 的总数。
②n对括号正确匹配问题：给定 n 对括号（即 n 个左括号 ( 和 n 个右括号 )），求所有 合法匹配的括号序列 的总数。
③给定节点组成二叉搜索树：给定 n 个不同的节点（值唯一），求能组成多少种 结构不同的二叉搜索树（BST）。
所以，我们这道题就可以看成是出栈次序问题。就是求将红色看成是入栈操作，黑色看成是出栈操作。任意前缀（前面格子）中红色 >= 黑色，等价于 入栈数 >= 出栈数。这也是出栈序列中的合法性，保证入栈数大于等于出栈数。所以就可以看成是出栈次序问题。
下面讲解出栈次序问题：
①首先，设f(n) 为 序列个数中为 n 的出栈序列种数。
②并且假定，从开始到第一次出栈到空为止，这段过程中的第一个出栈序数为 k。
③首次出空 之前 第一个出栈的序数 k 将 1 ~ n 的序列分为两个序列：第一段序列是 1 ~ k - 1，第二段序列是 k + 1 ~ n.
④现在，把 k 看成是一个确定的序数，根据乘法原理，f(n) 的问题等价于 —— 序列个数为 k - 1 (第一段)的出栈序列数乘以序列个数为 n - k 的出栈序列数（递归思想），即f(n) = f(k -1) * f(n - k);
⑤因为k的范围 是 1 ~ n,所以再结合 加法原理，将 k 取到不同值得序列种数相加，得到得总序列种数为：f(n)=f(0)f(n−1)+f(1)f(n−2)+……+f(n−1)f(0)。
⑥可以发现，这个公式与卡特兰数得递推式二 是一样的。
这道的解为 第 n 个卡特兰数。
AC代码：
#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<string>
using namespace std;
long long int f[1200];
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
f[0] = f[1] = 1;
for(int i = 2;i <= n;i++)
{
for(int j = 0;j < i;j++)
{
f[i] += f[j] * f[i - 1 - j];
f[i] %= 100;
}
}
printf("%lld",f[n]);
return 0;
}