当前位置：首页 > news >正文

【动态规划】最长公共子序列问题 C++

news 来源：原创 2025/5/8 13:54:56

问题描述

子序列：序列Z是原序列X的子序列，当且仅当Z的元素在X中按严格递增的下标顺序出现（不要求连续）。例如X={A,B,C,B,D,A,B}中，Z={B,C,D,B}是子序列，对应X的下标2→3→5→7。
公共子序列：若序列Z同时是X和Y的子序列，则称Z为X和Y的公共子序列

最长公共子序列问题要求给定两个序列X、Y，找出X、Y的最长公共子序列

问题分析

最长公共子序列的结构
设序列X={x1,x2,......,xm}和Y={y1,y2,......,yn}的最长公共子序列为Z={z1,z2,......,zk}，则：
（1）若xm=yn，则zk=xm=yn，且Z-zk是X-xm和Y-yn的最长公共子序列
（2）若xm≠yn且zk≠xm，则Z是X-xm和Y的最长公共子序列
（3）若xm≠yn且zk≠yn，则Z是X和Y-yn的最长公共子序列

由此可见，2个序列的最长公共子序列包含了这两个序列的前缀最长公共子序列。因此，最长公共子序列问题具有最优子结构性质。

建立最优值的递归方程
$\begin{cases} 0 & i = 0 \ or j = 0 \\ c[i-1][j-1] + 1 & i, j > 0;\ x_i = y_j \\ \max\{c[i][j-1], c[i-1][j]\} & i, j > 0;\ x_i \neq y_j \end{cases}$
自底向上求最优值
在子问题空间中，共有mn个不同的子问题

遍历整个子问题空间，计算并存储当前问题的解

void LcsLength(char x[], char y[], int m, int n,int **c, int **b) {
	for (int i = 0; i <= m; i++)
		c[i][0] = 0;
	for (int j = 0; j <= n; j++)
		c[0][j] = 0;
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			if (x[i] == y[j])
			{
				c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;
			}
			else if (c[i - 1][j] > c[i][j - 1])
			{
				c[i][j] = c[i - 1][j];
			}
			else
			{
				c[i][j] = c[i][j - 1];
			}

		}
	}
}

构造最优解

在上一步求最优值的时候，加入辅助信息表b,用于存储当前位置的值的来源
我们规定，
b[i][j]=1，表示c[i][j]=c[i-1][j-1]+1
b[i][j]=2，表示c[i][j]=c[i-1][j]
b[i][j]=3，表示c[i][j]=c[i][j-1]

加入辅助信息的LcsLength函数

void LcsLength(char x[], char y[], int m, int n,int **c, int **b) {
	for (int i = 0; i <= m; i++)
		c[i][0] = 0;
	for (int j = 0; j <= n; j++)
		c[0][j] = 0;
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			if (x[i] == y[j])
			{
				c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;
				b[i][j] = 1;
			}
			else if (c[i - 1][j] > c[i][j - 1])
			{
				c[i][j] = c[i - 1][j];
				b[i][j] = 2;
			}
			else
			{
				c[i][j] = c[i][j - 1];
				b[i][j] = 3;
			}

		}
	}
}

构造最优解

void LCS(int **b, int i,int j,char x[]) {
	if (i == 0 || j == 0)
		return;
	if (b[i][j] == 1)
	{
		LCS(b, i - 1, j - 1,x);
		cout << x[i];
	}
	else if (b[i][j] == 2)
		LCS(b, i - 1, j, x);
	else
		LCS(b, i, j - 1, x);
}

实例

设两个序列
X={a,b,c,b,d,a,b}
Y={b,d,c,a,b,a}

可计算出如下的c[i][j]和b[i][j]
在这里插入图片描述

代码

#include<iostream>
using namespace std;
void LCS(int b[][8], int i,int j,char x[]) {
	if (i == 0 || j == 0)
		return;
	if (b[i][j] == 1)
	{
		LCS(b, i - 1, j - 1,x);
		cout << x[i];
	}
	else if (b[i][j] == 2)
		LCS(b, i - 1, j, x);
	else
		LCS(b, i, j - 1, x);
}
void LcsLength(char x[], char y[], int m, int n,int c[][8], int b[][8]) {
	for (int i = 0; i <= m; i++)
		c[i][0] = 0;
	for (int j = 0; j <= n; j++)
		c[0][j] = 0;
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			if (x[i] == y[j])
			{
				c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;
				b[i][j] = 1;
			}
			else if (c[i - 1][j] > c[i][j - 1])
			{
				c[i][j] = c[i - 1][j];
				b[i][j] = 2;
			}
			else
			{
				c[i][j] = c[i][j - 1];
				b[i][j] = 3;
			}

		}
	}
}
int main() {
	char x[8] = { ' ','a','b','c','b','d','a','b' };
	char y[7] = { ' ','b','d','c','a','b','a' };
	int c[8][8];
	int b[8][8];
	int m = 7, n = 6;
	LcsLength(x, y, m, n, c, b);
	cout << "最长公共子序列长度为" << c[m][n] << endl;
	cout << "最长公共子序列为:";
	LCS(b, m, n, x);

	return 0;
}