蚁群算法初探（ACO）

简介

蚁群算法是模拟蚂蚁觅食的一种算法

基础蚁群算法(ACO）

设蚂蚁数量为$m$, $d_{ij}(i,j=1,2,\cdots ,n)$表示城市$i$到城市$j$的距离,$b_i(t)$表示在$t$时刻位于城市$i$的蚂蚁个数，且有$m={\sum }_{i=1}^n{b}_i(t)$,${\tau }_{ij}(t)$表示$t$时刻城市$i$到$j$连线残留的信息素。在初始时刻，${\tau }_{ij}(0)=C$。蚂蚁$k$在运行过程中，从城市$i$到城市$j$的概率为
$$p_{ij}^k=\{\begin{array}{l}\frac{{\tau }_{ij}^{\alpha }(t)\ast {\eta }_{ij}^{\beta }(t)}{{\sum }_{s\in allowe{d}_k}{\tau }_{is}^{\alpha }(t)\ast {\eta }_{is}^{\beta }(t)},j\in allowe{d}_k\\ 0,其它\end{array}$$
其中${\eta }_{ij}=\frac{1}{d_{ij}}$,$\alpha$为信息素的比重，$\beta$为启发信息的比重
信息素更新为
$$\begin{array}{rl}& {\tau }_{ij}(t+1)=(1-\rho ){\tau }_{ij}(t)+△{\tau }_{ij}\\ & △{\tau }_{ij}=\sum _{k=1}^m△{\tau }_{ij}^k\end{array}$$
其中$\rho$表示信息素${\tau }_{ij}(t)$随时间减弱的程度,$\rho \in (0,1)$
$△{\tau }_{ij}^k$有下面的几种模型

• Ant-Cycle System
  $$△{\tau }_{ij}^k=\{\begin{array}{l}\frac{Q}{L_k},第k只蚂蚁在本次循环中经过ij\\ 0,其他\end{array}$$
• Ant-Quantity System
  $$△{\tau }_{ij}^k=\{\begin{array}{l}\frac{Q}{d_{ij}},第k只蚂蚁在时刻t和(t+1)之间经过ij\\ 0,其他\end{array}$$
• Ant-Density System
  $$△{\tau }_{ij}^k=\{\begin{array}{l}Q,第k只蚂蚁在时刻t和(t+1)之间经过ij\\ 0,其他\end{array}$$
  算法描述为
  

最大最小蚁群系统(MMAS)

有三个方面的改进

• 当所有的蚂蚁完成周游后，仅对蚂蚁发现的最后路径上的信息素进行更新，该方法称为全局信息素更新
• 每条边上的信息素限制在$[{\tau }_{min},{\tau }_{max}]$区间内
• 信息素初始化为${\tau }_{max}$

小窗口蚁群算法

限制每个城市可达的$window$个城市(即离最近的$window$个城市)。即为每个城市建立一个cityWin[window]，保存window个距离最近的城市，每次移动从cityWin[window]和tabu[k]的交集中选择移动的城市

应用

蚁群聚类算法，有以下几种

• 基于蚂蚁觅食的蚁群聚类
• 基于蚂蚁堆形成的聚类算法
• 基于蚂蚁转移概率的k-means聚类算法

可以用在边缘检测问题上

注意

在计算得到蚂蚁在城市的转移概率$p_{ij}^k$后，到底是选择哪个城市可以使用概率累积和方式来选择哪个城市，先随机给出一个概率$r$,在候选城市中，计算概率累积和，看$su{m}_{j\in allowedk}{p}_{ij}>r$,在遍历过程中，选择此时的j即可。类似于matlab中的cumsum