十五天-动态规划
目录
动态规划：概念、应用及区间调度问题解析
动态规划：基本原理与核心特质
动态规划：多元场景下的实用工具
区间调度问题：从无权到加权的探索
无权区间调度问题与贪心算法
加权区间调度问题与动态规划
动态规划的两种实现方式
自底向上法：步步为营构建答案
自顶向下法：递归探索与记忆优化
其他经典问题中的动态规划应用
背包问题：资源约束下的价值最大化
最大子数组和问题：探寻数组中的最优子序列
最长公共子序列（LCS）问题：字符串间的相似性度量
动态规划：概念、应用及区间调度问题解析
在算法的广阔领域中，动态规划（Dynamic Programming，DP）作为一种高效解决复杂优化问题的策略，占据着举足轻重的地位。本文将围绕动态规划的核心概念，深入探讨其在各类场景下的应用，以区间调度问题作为切入点，全方位展示这一算法策略的魅力。
动态规划：基本原理与核心特质
动态规划旨在通过将复杂问题拆解为一系列相互关联的子问题，有条不紊地解决子问题，并保存子问题的解，避免重复计算，进而高效攻克原问题。这种方法尤其适用于具备最优子结构与子问题重叠特性的问题。
所谓最优子结构，是指问题的最优解能够由其子问题的最优解推导得出。而子问题重叠特性，则意味着在求解过程中，同一子问题会被反复求解。这些特性为动态规划的应用奠定了坚实的基础。
动态规划：多元场景下的实用工具
动态规划凭借其独特优势，在多个领域得到了广泛应用。在计算机科学领域，它常用于算法设计，如经典的背包问题、字符串匹配算法等；在运筹学领域，可助力资源分配、生产调度等优化问题的解决；在经济学领域，能为投资决策、收益最大化分析等提供有效支持。
区间调度问题：从无权到加权的探索
无权区间调度问题与贪心算法
无权区间调度问题要求从给定的一组区间中，挑选出尽可能多的互不重叠的区间。贪心算法作为解决这一问题的常用方法，遵循一种简单而有效的策略：每次选择结束时间最早且与已选区间不重叠的区间。
证明这一策略的正确性，我们可以采用反证法。假设存在一个最优解集合\(S\)，将所有区间按结束时间进行排序。贪心算法会率先选择结束时间最早的区间\(i_1\)。倘若最优解\(S\)的首个区间并非\(i_1\)，由于\(i_1\)结束时间最早，我们可以将\(S\)中的首个区间替换为\(i_1\)。这种替换不会影响\(S\)中其他区间的选取，且\(S\)依然是最优解。因此，贪心算法能够得到最优解。
在实现层面，只需对区间按结束时间进行排序，随后依次遍历，选择符合条件的区间即可。
加权区间调度问题与动态规划
加权区间调度问题为每个区间赋予了权重，目标是选择一组互不重叠的区间，使这些区间的权重总和最大。此时，动态规划成为解决这一问题的有力工具。
我们将问题分解为子问题，并定义状态。设\(dp[i]\)表示考虑前\(i\)个区间时能够获得的最大权重。状态转移方程为\(dp[i] = \max(dp[i - 1], w[i] + dp[j])\)，其中\(j\)是满足区间\(j\)与区间\(i\)不重叠且\(j < i\)的最大索引，\(w[i]\)为区间\(i\)的权重。
动态规划的两种实现方式
自底向上法：步步为营构建答案
自底向上的实现方式从最小的子问题开始求解，逐步构建出更大问题的解。以加权区间调度问题为例，首先计算\(dp[0]\)，接着依次计算\(dp[1], dp[2], \cdots, dp[n]\)，其中\(n\)为区间总数。这种方式无需递归调用，不仅提升了效率，还可在空间上进行优化，仅保存必要的中间结果。
自顶向下法：递归探索与记忆优化
自顶向下则通过递归的方式求解问题，先着眼于原问题，在递归过程中发现子问题。以加权区间调度问题来说，先定义求解\(dp[i]\)的递归函数，在函数内部依据状态转移方程递归调用求解\(dp[j]\)。为避免重复计算，通常会采用记忆化搜索，保存已经计算过的子问题的解。
其他经典问题中的动态规划应用
背包问题：资源约束下的价值最大化
背包问题给定一个容量为\(C\)的背包和一组物品，每个物品具有重量\(w_i\)和价值\(v_i\)，要求选择一些物品放入背包，使背包内物品价值总和最大，且总重量不超过背包容量。其状态转移方程为\(dp[i][j] = \max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + v[i])\)，其中\(dp[i][j]\)表示考虑前\(i\)个物品，背包容量为\(j\)时能够获得的最大价值。
最大子数组和问题：探寻数组中的最优子序列
给定一个整数数组，需要找出一个具有最大和的连续子数组。状态转移方程为\(dp[i] = \max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i])\)，其中\(dp[i]\)表示以第\(i\)个元素结尾的最大子数组和。
最长公共子序列（LCS）问题：字符串间的相似性度量
给定两个字符串\(X\)和\(Y\)，求它们的最长公共子序列长度。状态转移方程为\(dp[i][j] = \begin{cases} dp[i - 1][j - 1] + 1 & \text{if } X[i] = Y[j] \\ \max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) & \text{if } X[i] \neq Y[j] \end{cases}\)，其中\(dp[i][j]\)表示\(X\)的前\(i\)个字符和\(Y\)的前\(j\)个字符的最长公共子序列长度 。
动态规划以其系统性的问题解决思路，为复杂优化问题提供了高效的解决方案。通过精准定义状态和状态转移方程，我们能够充分发挥这一算法策略的潜力，应对各种实际挑战。