欧拉筛/线性筛素数（数论）

模板题 

代码 

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[100000008] = { 0 };
int pri[100000008];
int n, q;
int num = 0;
void check(int n)
{
	
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{
		if (a[i] == 0)
		{
			pri[++num] = i;

		}
		for (int j = 1; j <= num; j++)
		{
			if (i * pri[j] > n)
			{
				break;
			}
			a[i * pri[j]] = 1;
			if (i % pri[j] == 0)
			{
				break;
			}

		}
	}
}
int main()
{
	
	cin >> n >> q;
	check(n);
	sort(pri, pri + num);
	while (q--)
	{
		int x;
		cin >> x;
		cout << pri[x] << endl;
	}
	return 0;
}

最小质因数是指一个合数能分解出的最小的质数因数。以下是详细介绍：

• 定义：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中最小的那个质数就是这个合数的最小质因数。例如，对于合数12，它可以分解为12 = 2×2×3，其中2是最小的质数因数，所以12的最小质因数是2。
• 特殊情况：质数的最小质因数就是它本身。因为质数只有1和它自身两个因数，所以它的最小质因数就是这个质数本身。例如，7是质数，它的最小质因数就是7。
• 求法：可以从最小的质数2开始，依次用质数去试除给定的数，第一个能整除该数的质数就是它的最小质因数。例如，求30的最小质因数，先尝试2，30\2 = 15，所以30的最小质因数是2。

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算法原理

欧拉筛法的基本思想是每个合数只被它的最小质因子筛掉一次，从而避免了重复筛选。算法通过两个数组实现，第一个数组筛选，第二个数组保存质。

输入数据范围n，在 main 函数中通过循环遍历每一个元素 i。检查 a 数组的对应位置 a[i] 是否为 0，如果为 0，则证明 i 为素数，将其记录到 pri 数组中，并更新记录质数的数量 num。

然后进入 for (int j = 1; j <= num; j++) 循环，每次遍历每一个记录下来的素数 pri[j]，将当前的 i 的值与每一个记录的素数相乘，并将乘积 i * pri[j] 对应的 a 数组位置标记为 1，代表该数已经确定为合数。

特别地，当 i % pri[j] == 0 时，要提前跳出内层循环。这是因为此时 pri[j] 是 i 的最小质因数，若继续循环，后续得到的乘积 i * pri[j + k]（k > 0） 这个合数本应被 pri[j] 筛去（因为 pri[j] 是其最小质因数），却会被 pri[j + k] 提前筛去，导致重复标记。通过这个判断保证了每个合数只会被它的最小质因数筛去，实现了线性筛法的高效性。

if (i % pri[j] == 0) { break; } 这行代码是线性筛法（欧拉筛法）的核心优化部分，它的作用是确保每个合数都只会被它的最小质因数筛去，避免重复标记