人工智能之数学基础:特征值和特征向量

本文重点

在线性代数中，我们经常使用到的一个概念就是特征值和特征向量，在机器学习中，尤其是图像领域，这个概念尤为的重要，一个矩阵可以对向量进行加工，从而将一个向量变成新的向量。有的时候，一个向量经过矩阵加工之后，新生成的向量与原来的向量共线（方向可能相反），那么这个向量叫做这个矩阵的特征向量。我们定义新向量的长度是原来向量长度的λ倍，那么这个λ我们可以称之为特征值，那么一个矩阵的特征值和特征向量就是这样的直观理解。本节课将从数学角度介绍什么是特征值以及什么是特征向量？

特征值和特征向量的数学含义

有一个矩阵A为n阶方阵，如果存在数λ和n维非零列向量a，使得Aa=λa，则λ为A的一个特征值，a称为A的对应于特征值λ的特征向量。我们都知道矩阵A表示一个线性变换，那么Aa表示对向量a进行线性变换，那么变换的结果是λa，也就是说经过线性变换之后结果还是a，只不过进行了比例变换，而这个比例变换就是特征值a。

如果特征值a大于0，那么经过线性变换之后特征向量的方向不变。如果特征值a小于0，那么经过线性变换之后特征向量的方向相反。如果特征值为0，则经过线性变换之后特征向量收缩回原点。

如何求一个矩阵的特征值和特征向量？

特征值