欧拉角与法向量之间的相互转换（附代码）

一、 欧拉角的定义

1. 基本概念

欧拉角是描述三维空间中物体姿态的三个角度参数，通过绕三个正交坐标轴的连续旋转来唯一确定物体的方向。其核心思想是 将复杂的三维旋转分解为三个独立的单轴旋转。顺序不同会导致不同的结果。
典型应用：机器人运动学、飞行器导航、三维图形渲染。

2. 旋转轴与顺序

常见旋转顺序：

• ZYX（偏航Yaw→俯仰Pitch→横滚Roll）：常用于无人机、机器人。
• XYZ：常见于计算机图形学。
• ZYZ：用于机械臂和分子动力学。

内旋（Intrinsic）与外旋（Extrinsic）：

• 内旋：绕物体自身旋转后的坐标系旋转。
• 外旋：绕固定世界坐标系旋转。

3. 万向锁（Gimbal Lock）

• 问题：当中间旋转角为±90°时，第一轴和第三轴对齐，丢失一个自由度。
• 解决方法：使用四元数或旋转矩阵替代欧拉角。

二、 欧拉角与旋转矩阵的转换（XYZ顺序）

1. 欧拉角 → 旋转矩阵（外旋）

最终旋转矩阵（外旋）：

R=Rx⋅Ry ⋅Rz
​

2. 旋转矩阵 → 欧拉角（XYZ顺序）

设旋转矩阵元素为 R ij，计算步骤：

三、法向量转欧拉角（XYZ顺序）

法向量（如物体表面朝向）可视为旋转后的Z轴方向。通过构建正交坐标系并分解出XYZ欧拉角。
具体步骤：
1.归一化法向量：
2.构建正交坐标系：

• 新Z轴：法向量

• 临时参考轴（如Y轴）：若法向量与原Y轴重合，改用X轴。

• 计算新X轴：

• 计算新Y轴：

3.构造旋转矩阵：

4.分解欧拉角： 使用旋转矩阵→欧拉角的方法（XYZ顺序）

四、欧拉角转法向量（XYZ顺序）

通过欧拉角生成旋转矩阵，提取旋转后的Z轴方向即为法向量。
具体步骤：

• 生成旋转矩阵：按XYZ顺序计算外旋矩阵。 R=Rx (α)⋅Ry (β)⋅Rz (γ)（α，β，γ为对应欧拉角）
• 提取法向量：旋转矩阵的第三列即为旋转后的Z轴方向。

五、代码实现（python）

代码功能：输出平面法向量，可输出 1、对应单位法向量，2、由该单位法向量求出的欧拉角（XYZ顺序），3、由求出的欧拉角重新求其单位法向量

import numpy as np 
from scipy.spatial.transform import Rotation 

def normal_to_euler_and_back(normal):
    """
    输入平面法向量，输出单位向量、欧拉角（XYZ顺序，角度制），并通过欧拉角重新计算单位向量
    :param normal: 法向量（需满足ax+by+cz+d=0中的c=-1）
    :return: 单位法向量、欧拉角（角度）、重构的单位向量
    """
    # Step 1: 归一化法向量
    normal = np.array(normal)
    unit_normal = normal / np.linalg.norm(normal)
    
    # Step 2: 构建旋转矩阵
    target_z = unit_normal
    # 定义临时参考轴（避免与法向量共线）
    temp_x = np.array([1, 0, 0]) if not np.allclose(target_z, [1, 0, 0]) else np.array([0, 1, 0])
    # 计算新的Y轴（正交化）
    new_y = np.cross(target_z, temp_x)
    new_y /= np.linalg.norm(new_y)
    # 计算新的X轴
    new_x = np.cross(new_y, target_z)
    # 构建旋转矩阵
    rotation_matrix = np.column_stack([new_x, new_y, target_z])
    
    # Step 3: 转换为欧拉角（XYZ顺序，角度制）
    rotation = Rotation.from_matrix(rotation_matrix)
    euler_angles_deg = rotation.as_euler('xyz', degrees=True)  # 直接输出角度
    
    # Step 4: 从欧拉角（角度制）重构旋转矩阵并提取法向量
    reconstructed_rotation = Rotation.from_euler('xyz', euler_angles_deg, degrees=True)
    reconstructed_matrix = reconstructed_rotation.as_matrix()
    reconstructed_normal = reconstructed_matrix[:, 2]  # 第三列为Z轴方向
    
    return unit_normal, euler_angles_deg, reconstructed_normal

# 示例测试
normal = np.array([7, 4, -1])  # 输入法向量（c=-1）
unit_normal, euler_angles_deg, reconstructed_normal = normal_to_euler_and_back(normal)

print("单位法向量:", unit_normal)
print("欧拉角（角度，XYZ顺序）:", euler_angles_deg)
print("重构的单位法向量:", reconstructed_normal)