人工智能之数学基础：广义特征值和广义特征向量是什么？

本文重点

在标准的特征值问题中，我们通常面对的是一个矩阵A和一个向量v，满足方程Av=λv，其中λ是特征值，v是对应的特征向量。然而，在广义特征值问题中，这一方程被扩展为Av=λBv，其中A和B是两个给定的方阵，v是广义特征向量，λ是广义特征值。这一扩展使得我们能够处理更为复杂的数学和应用问题。

广义特征值和广义特征向量

从几何角度来看，标准特征值问题寻找的是一个向量，在矩阵A的作用下保持不变的方向（即特征向量v是矩阵A的“固有方向”），在这些方向上，矩阵对向量的缩放比例是特征值λ。而广义特征值问题则更为复杂，它要求找到一个向量v，使得在矩阵A和矩阵B的共同作用下，二者之间保持某种线性比例关系。也就是说，广义特征值问题寻找的是在两个不同矩阵共同作用下保持不变的方向。

广义特征值是特征值的推广，它的定义如下：

对于方阵A和方阵B，如果存在一个数λ以及非0向量x，如果满足下面的关系：

Ax=λBx

此时我们将λ为广义特征值，x为广义特征向量。

广义特征值与广义特征向量的求解方法

求解广义特征值与广义特征向量的过程相对复杂，具体取决于矩阵A和B的性质。以下是一些常见的求解方法&#x