数据结构——哈夫曼编码、哈夫曼树
1 哈夫曼树、哈夫曼编码
定义
哈夫曼树又称最优二叉树，是一种带权路径长度最短的二叉树。所谓树的带权路径长度，就是树中所有的叶结点的权值乘上其到根结点的路径长度（若根结点为 0 层，叶结点到根结点的路径长度为叶结点的层数）。
哈夫曼编码是一种基于哈夫曼树的变长编码方式。它利用字符出现的频率来构造哈夫曼树，然后根据哈夫曼树对每个字符进行编码，使得出现频率高的字符编码较短，出现频率低的字符编码较长，从而达到数据压缩的目的。
路径和路径长度，节点的权，带权路径长度
在理解哈夫曼树和哈夫曼编码时，路径、路径长度、节点的权以及带权路径长度是几个关键概念。
路径
在树结构里，从一个节点到另一个节点所经过的节点序列就被称作路径。比如在二叉树中，从根节点到某个叶子节点的一系列节点连接起来就构成了一条路径。
路径长度
路径长度指的是路径上所经过的边的数量。边是连接两个节点的线段
从根节点 A 到节点 B 的路径 A -> B 只经过了 1 条边，所以这条路径的长度为 1；而从根节点 A 到节点 C 的路径长度同样为 1。若节点 B 还有一个左子节点 D，那么从根节点 A 到节点 D 的路径为 A -> B -> D，经过了 2 条边，路径长度就是 2。
节点的权
节点的权是为树中的每个节点赋予的一个数值，这个数值可以代表不同的含义，具体取决于应用场景。在哈夫曼编码中，节点的权通常表示对应字符出现的频率。
举个例子，字符 a 出现了 5 次，字符 b 出现了 3 次，字符 c 出现了 2 次。若构建哈夫曼树，那么代表字符 a 的节点的权就是 5，代表字符 b 的节点的权是 3，代表字符 c 的节点的权是 2。
带权路径长度（Weighted Path Length, WPL）
从根节点到该节点的路径长度 与 该节点权值的乘积
,其中 w是第 i 个叶子节点的权值，l 是第 i 个叶子节点到根节点的路径长度，n 是叶子节点的数量。
树的带权路径长度
所有叶子节点的带权路径长度之和
示例：假设有一棵哈夫曼树，有 5 个叶子节点，分别为 A、B、C、D、E，权值依次为 5、2、3、4、1。它们到根节点的路径长度分别为 2、3、3、2、4。则该树的带权路径长度为：WPL = 5×2 + 2×3 + 3×3 + 4×2 + 1×4 = 10 + 6 + 9 + 8 + 4 = 37
生成步骤
- 统计节点权值：首先要统计每个节点的权值，在哈夫曼编码的应用场景中，权值通常代表字符出现的频率。
- 构建初始森林：把每个节点当作一棵只有一个节点的树，从而构建一个森林。
- 选择最小权值节点：从森林里挑选出两个权值最小的树。
- 合并节点：将这两个权值最小的树合并成一棵新树，新树的根节点权值为这两个树的根节点权值之和。
- 更新森林：从森林中移除这两个被合并的树，再把新树加入森林。
- 重复步骤 3 - 5：不断重复上述步骤，直至森林中只剩下一棵树，这棵树就是哈夫曼树。
压缩比：
在数据压缩中，压缩比是衡量压缩效果的一个重要指标，它表示原始数据大小与压缩后数据大小之间的比例关系。对于哈夫曼编码，其压缩比的计算方式如下：
压缩比 = 原始数据存储空间 / 压缩后数据存储空间
原始数据 “hello”，字符数量为 5，那么原始数据大小40bit ，5字节。假设字符 “h” 的哈夫曼编码为 “00”，“e” 为 “01”，“l” 为 “10”，“o” 为 “11”。那么 “hello” 的哈夫曼编码为 “0001101011”，总位数为 10 bit。 字节。在计算压缩后数据大小时向上取整，是因为计算机存储数据的最小单位是字节，即使数据不足一个字节，也需要占用一个完整的字节来存储。
压缩比为2.5。