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蓝桥杯备赛(搜索）

news 来源：原创 2025/6/5 6:57:34

·DFS基础&回溯

回溯法简介

回溯法一般使用DFS(深度优先搜索)实现，DFS是一种遍历或搜索图、树或图像等数据结
构的算法，当然这个图、树未必要存储下来（隐式处理就是回溯法），常见的是通过某种关系构造出的搜索树，搜索树一般是排列型搜索树（总节点个数一般为n!级别）和子集型搜索树（总节点个数一般为2^n级别）。
排列型就是每次枚举选哪个，子集型就是对于每一个元素选或不选（结果与顺序无关）。
DFS从起始节点开始，沿着一条路径尽可能深入地搜索（一条路走到黑），直到无法继续为
止，然后回溯到前一个节点，继续探索其他路径，直到遍历完整个图或树。
DFS使用栈或递归来管理节点的遍历顺序，一般使用递归。
很多时候DFS和回溯法不必过度区分。

排列树图解

子集树图解

回溯法模板

这是一个排列型搜索树，实际上的回溯法比较灵活，需要根据题意要求来具体分析。
vis[i]表示数字i是否使用过，也经常被用于表示某个元素是否使用过。
a[]存放结果，当dep深度=n+1时说明n层都已经算完了，直接输出结果。
子集型搜索树模板结构类似，就是在往下走时候只有两条边，表示“选或不选当前这个元素”。

例题讲解

（1）

首先可以肯定的是,每一行必然有且仅有一个皇后(因为不可能出现两个皇后在同一行),于是就通过枚举每一层皇后的位置来搜索所有可能解即可。
每放置一个皇后就将对应的米字型区域设置为“禁区”,后面的皇后就不能放在“禁区”里，回溯的时候将禁区取消掉。为了正确维护“禁区”，不能使用bool数组来表示禁区，需要使用int数组，表示这个位置被“多少个皇后占用了”，当占用数为0时表示“禁区解除”。
层数到n+1时表示找到了一个解,不可行的解都到不了第n+1层。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const int n = 15;
int n, ans;
int vis[N][N];//表示被多少个皇后占用

void dfs(int dep)
{
  if(dep == n + 1)
{
  ans ++;
  return;
}

for(int i = 1; i <= n; ++ i)
{

   if(vis[dep][i])continue;
   for(int _i = 1; _i <= n; ++ _i)vis[_i][i] ++;
   for(int _i = dep; _j = i; _i >= 1 && _j >= 1; -- _i, -- _j)vis[_i][_j] ++;
   for(int _i = dep; _j = i; _i <= n && _j >= 1; ++ _i, -- _j)vis[_i][_j] ++;
   for(int _i = dep; _j = i; _i >= 1 && _j <= n; -- _i, ++ _j)vis[_i][_j] ++;
   for(int _i = dep; _j = i; _i <= n && _j <= n; ++ _i, ++ _j)vis[_i][_j] ++;

  dfs(dep + 1);

  for(int _i = 1; _i <= n; ++ _i)vis[_i][i] --;
  for(int _i = dep; _j = i; _i >= 1 && _j >= 1; -- _i, -- _j)vis[_i][_j] --;
  for(int _i = dep; _j = i; _i <= n && _j >= 1; ++ _i, -- _j)vis[_i][_j] --;
  for(int _i = dep; _j = i; _i >= 1 && _j <= n; -- _i, ++ _j)vis[_i][_j] --;
  for(int _i = dep; _j = i; _i <= n && _j <= n; ++ _i, ++ _j)vis[_i][_j] --;




int main()
{
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);

  cin >> n;
  dfs(1);
  cout << ans << '\n';
  return 0;
}

（2）

跑dfs求最大的环，可以用时间戳 ( dfn ) ,将走过的地方标记一个时间戳（即第几步走到的）。
后续搜索中，每次开始时更新最小时间戳 ( mindfn ) ,如果走到已经走过的点就必须停下，然后根据时间戳的合法性来更新最大值。

代码如下：

（3）

先用dfs将不同的岛屿染上不同的颜色，然后计算最后剩下的岛屿的颜色有多少和原先总岛屿数（即颜色数）减去剩余颜色数，得到的就是淹没的岛屿数量。需要考虑的细节较多，自己多加理解

代码如下：

·剪枝

所谓剪枝

其实就是将搜索过程当中一些不必要的部分直接剔除掉，因为搜索过程构成了一棵树，刷除不必要的部分，就像是在树上将树枝剪掉，故名剪枝。
剪枝是回测法的一种重要优化手段，方法往往先写一个暴力搜索，然后找到某些特殊的数学关系,或者逻辑关系,通过它们的约束让搜索树尽可能浅而小,从而达到降低时间复杂度的目的。
一般来说，剪枝的复杂度难以计算。

例题

lanqiao OJ 2942数字王国之军训排队

因为n比较小，所以我们可以从小到大枚举“最少队伍的数量”，然后再判断在这个队伍数量的情况下，是否可以成功分组。
这个判断合法性的函数就用搜索来实现，具体地来说，就是确定总队伍数量，然后对于每一个人，枚举他所属的队伍，用回溯法解决。
剪枝策略是，当某个人进入队伍时直接检查是否存在信系，如果存在就直接跳过。

错误展示（未剪枝）：

正确代码修正：

lanqiao OJ 3008特殊的多边形

不妨规定我们构造出的3元组是递增的，那么在搜索过程中我们就可以通过计算得到当前这个位置的上限（剪枝的关键）。dfs过程中记录乘积，因为乘得越多数字越大，当乘积mul>1e6时直接返回（乘积很容易就超过1e5,数字较大时层数就两三层)。
同时还能记录一下 n - 1 条边的长度和sum,最后一条边必须小于sum。
最后用前缀和快速进行区间查询。

代码示例：

lanqiao OJ 3075特殊的多边形

不妨规定我们构造出的n元组是递增的，那么在搜索过程中我们就可以通过计算得到当前这个位置的上限（剪枝的关键）。dfs过程中记录乘积，因为乘得越多数字越大，当乘积mul>1e5时直接返回（乘积很容易就超过1e5,数字较大时层数就两三层)。
同时还能记录一下n-1条边的长度和sum,最后一条边必须小于sum。
最后用前缀和快速进行区间查询。

代码示例：

·记忆化

所谓记忆化

就是将搜索过程中会重复计算且结果相同的部分保存下来，作为一个状态，下次访问到这个状态时直接将这个子搜索的结果返回，而不需要再重新算一遍。
通常会使用数组或map来进行记忆化，下标一般和dfs的参数表对应。
注意使用记忆化需要保证重复计算的结果是相同的，否则可能产生数据失真。