高效字符串匹配：KMP算法

本文针对计算机统考408的数据结构复习需求，系统解析KMP算法的核心原理与实现要点。​ 

KMP算法的核心思想

当主串与模式串匹配失败时，利用已匹配部分的最长公共前后缀长度，确定模式串滑动距离，避免主串指针回溯。时间复杂度：​O(n+m)。

方便理解我们先来看一个例子：

本次匹配的模式串为abaabc，主串在扫描前未知

匹配到下标3失败时，可以确定主串前三位为aba，第4为不是a 

很明显，我们将子串向右移一位是不可能匹配的， 这样一开始就匹配失败了，而我们向右移动两位，有可能可以匹配成功，因此我们令j=1继续匹配。由j=3匹配失败后令j=1，构建next数组(表示该处字符不匹配时应该回溯到的字符的下标)，令next[3]=1。

构建next数组 (手算)

 假设匹配到第i位失败了，说明主串和模式串前i-1位是相同的，设next[i] = j (n>0)。

由左边的图可知：

由右边的图可知：

联立两式，得：

简单来说,next[j] = 前 j - 1 位的最长相等前后缀长度。

拿刚才模式串abaabc举例

下标i	前i位子串	后i位子串	最长相等前后缀长度	next[i]
0	空（首字符失配）	空	无	-1
1	空	空	0	0
2	a	b	0	0
3	a, ab	a, ba	1	1
4	a, ab, aba	a, ba, baa	1	1
5	a, ab, aba, abaa	b, ab, aab, baab	2	2

最终next数组中的元素应该是{-1, 0, 0, 1, 1, 2}。

理解上面的思路，接下来用代码来实现求模式串的next数组

匹配字符串

假设此时已经获得next数组，接下来进行匹配，不理解可以画个草图模拟一下代码。

// 字符串匹配，返回匹配的首字母位置
int kmpSearch(const string& S, const string& T, int next[]) {
    int i = 0, j = 0;                        // i为主串的指针，j为模式串指针
    int lenS = S.size(), lenT = T.size();
    while(i < lenS && j < lenT) {
        if(j == -1 || s[i] == p[j]) {        // 如果模式串无法右移或者单词匹配成功
            i++;                             // 两指针都往右移一位，继续匹配
            j++;
        }
        else j = next[j];                      // 匹配失败，回退j指针
    }
    if(j == lenT) return i - j;              // 模式串全部匹配成功，输出首字母位置
    return -1;
}

构建next数组 (机算)

本质上与匹配字符串的操作大差不差，核心跳转逻辑分三种情况：

1. j在初始位置-1 → 重置为0开始匹配
2. 字符匹配 → 同步前进
3. 字符不匹配 → 跳转到前一个匹配位置 

void get_next(const string& T, int next[]) {
    int i = 0, j = -1;
    next[0] = -1;
    while (i < n - 1) {
        if (j == -1 || p[i] == p[j]) { 
            j++;    
            i++;    
            next[i] = j;                 // 前后缀相等的最大值
        } else {
            j = next[j];                 // 回退寻找可能匹配的位置
        }
    }
}

结语

KMP算法通过预处理模式串的next数组，将匹配过程中的无效比较降至最低，是空间换时间的经典设计。备考时需重点掌握next数组的手算推导​(最长相等前后缀计算)，可以结合408真题巩固练习。