蓝桥杯 之 数论

• 数论，就是一些数学问题，蓝桥杯十分喜欢考察，常见的数论的问题有：取模，同余，大整数分解，素数，质因数，最大公约数，最小公倍数等等

素数

• 首先介绍这个素数的问题，也就是质数，只能被1或者本身整除，最小的素数是2
• 需要掌握埃氏筛或者欧拉筛求解出1-n的范围内的所有的质数

is_prime = [True]*(N+1)
prime = []
for i in range(2,N+1):
	if is_prime[i]:
		prime.append(i)
		for j in range(2*i,N+1,i):
			is_prime[j] = False
# 最后的话，这个prime 会存储所有的质数

求解一个数的质因数

求解最小质因数

• 同样，也可以使用埃氏筛，也可以使用欧式筛

def minprime(n):
	i = 2
	while i*i <= n:
		if n % i == 0:
			return i
		i += 1
	# 质数最后会返回自己本身
	return n

求解一个数的全部的质因数组成

def zuprime(n):
	ans = []
	i = 2
	while i*i <=n:
		while n % i == 0:
			ans.append(i)
			n = n // i
		i += 1
	if n > 1:
		ans.append(n)
	return ans
		
			

求解一个范围内的数的最小质因数

使用欧式筛,欧式筛的原理就是，每一个数只会被最小质因数所筛选，所以相对于埃氏筛来说具有优势

# 在这里我们初始化全部的数的最小质因数都是1，也包括质数
minprime = [1]*(N+1)
is_prime = [True]*(N+1)
prime = []
for i in range(2,N+1):
	if is_prime[i]:
		prime.append(i)
	for j in prime:
		if i*j > N :
			break
		is_prime[i*j] = False
		min_prime[i*j] = j
		# 保证只能被最小质因数筛选
		if i % j == 0:
			break

最大公因数

• a和b的最大公因数表示，可以整除a,b的最大的公因数，一般使用辗转相除法进行求解

import math
# 需要求解a,b的最大公因数，可以直接调用这个gcd函数进行求解
ans = math.gcd(a,b)

最小公倍数

• a和b的最小公倍数LCM可以通过这个与最大公因数的关系进行求解

# lcm(a,b) = a*b // math.gcd(a,b)

组合数

快速幂

• 可以使用pow方法求解取模的幂次，类似于快速幂

result = pow(base, exponent, mod)  # 计算 (base ** exponent) % mod

# 也可以手动实现上述功能
def quick_pow(a, n):
    ans = 1
    while n > 0:
        if n & 1:  # 如果该二进制位存在
            ans = ans * a % MOD
        a = a * a % MOD
        n >>= 1  # n除以2,判断下一个二进制位
    return ans
	

容斥定理

错位排序

习题

质数

找素数

• 由于是填空题，直接暴力求解

N = 10**7
prime = []
is_prime = [True]*(N+1)
for i in range(2,N+1):
    if is_prime[i]:
        prime.append(i)
        for j in range(i*2,N+1,i):
            is_prime[j] = False
if len(prime) > 10**5 +2 :
    print(prime[10**5+1])
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