洛谷P2119 [NOIP 2016 普及组] 魔法阵【题解】【前缀和优化】

P2119 [NOIP 2016 普及组] 魔法阵

题意简述

给定正整数 $n,m$ ，有 $m$ 个魔术物品，魔术值为 $X_i(X_i\in [1,n])$ 。定义魔法阵为：含四个魔术值 $X_a,X_b,X_c,X_d$ ，满足：

$X_a<X_b<X_c<X_d$

$X_b-X_a=2\times (X_d-X_c)$

$X_b-X_a<(X_c-X_b)÷3$

则称四个魔术物品分别为 $A$ 物品，$B$ 物品，$C$ 物品，$D$ 物品。

求出每个魔术物品作为 $A,B,C,D$ 的次数。

$1\le n\le 1.5\times 10^4$ ，$1\le m\le 4\times 10^4$ 。

思路

暴力

枚举所有可能的 $4$ 元组，$O(1)$ 判定是否可行，复杂度为 $O(C_m^4)$ ，预期得分 $45pts$。

可以稍微加一点剪枝优化。

有空把暴力打满看看能有多少分。

先 $sort$ 一下，再搜，选满四个直接判定，统计答案。

正解

观察到值域不算特别大，考虑桶排。

记 $cnt[X_i]$ 为魔法值 $X_i$ 出现的次数。再观察题目要求满足的式子，不妨设 $X_d-X_c=t$ ，

那么可以得到：$X_b-X_a=2t$ 。

将该式代入三式中，可得 $6t<X_c-X_b$ 。

显然 $\exists k\in N^{\ast }$ 满足 $6t+k=X_c-X_b$ 。

画个图来理解。

A ----$2t$---- B ------$6t+k$------ C —$t$— D

可以发现， $t,k$ 确定，$D$ 确定，四元组的个数即可求。

考虑枚举 $t$ 和 $D$ ，显然 $A\ge 1,D\le n$ ，所以易得 $1\le t\le \frac{n-1}{9}$

考虑 $t$ 固定时如何求解四元组。

当 $A$ 最小且 $k$ 最小时，$D$ 有最小值 $9t+2$ ，从小到大枚举 $D$ 。

对于当前 $D$ ,合法（可以构成魔法阵）的 $A,B$ 需满足 $A=D-9t-k,B=A+2t$ 。

观察到 $k$ 越大 $A$ 越小，所以所有比当前 $A$ 更小的组合都合法。（因为 $k$ 可以取任意正整数嘛，只需要 $A,B$ 之间距离大小恒为 $2t$ 即可）。

于是可以使用前缀和（枚举的过程从小到大，正好符合前缀和累加顺序）记录前面已有的合法 $A,B$ 组合，即 $sum=\sum cnt[A]\times cnt[B]$ 。

由乘法原理，得

当前 $C$ 出现的次数为 $\sum cnt[D]\times sum$ ，$D$ 出现的次数为 $\sum cnt[C]\times sum$

$C,D$ 已经求解， $A,B$ 同理，只需枚举 $A$ 即可。

$A$ 确定时，$k$ 越大，$D$ 越大，同上可知比当前 $D$ 更大得组合都合法（因为 $k$ 可以取任意正整数，只需要 $C,D$ 距离恒为 $t$ 即可） 。

所以从大到小枚举 $A$ ，用后缀和记录后面已有的合法 $C,D$ 组合。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;void read(int &res){int x = 0,w = 1;char ch = 0;while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') w = -1;ch = getchar();}while(ch >= '0' && ch <= '9'){x = (x << 3) + (x << 1) + (ch - '0');ch = getchar();}res = x * w;
}int main(){int n,m;read(n);read(m);vector <int> x(m + 1);vector <int> cnt(n + 1,0);vector <int> a(n + 1,0);vector <int> b(n + 1,0);vector <int> c(n + 1,0);vector <int> d(n + 1,0);for(int i = 1;i <= m;i++){read(x[i]);cnt[x[i]]++;	}//枚举tfor(int t = 1;t * 9 + 1 <= n;t++){int sum = 0;//先从小到大枚举Dfor(int D = 9 * t + 2;D <= n;D++){int A = D - 9 * t - 1;int B = A + 2 * t;int C = D - t;sum += cnt[A] * cnt[B];//前缀和优化c[C] += cnt[D] * sum;d[D] += cnt[C] * sum;} sum = 0;//再从大到小枚举A for(int A = n - 9 * t - 1;A;A--){int B = A + 2 * t;int C = B + 6 * t + 1;int D = C + t;sum += cnt[C] * cnt[D];a[A] += cnt[B] * sum;b[B] += cnt[A] * sum;}} for(int i = 1;i <= m;i++) cout << a[x[i]] << " " << b[x[i]] << " " << c[x[i]] << " " << d[x[i]] << endl;return 0;
} 

挺好的一道数学推导题。