当前位置：首页 > news >正文

manacher 算法详解

news 来源：原创 2025/5/9 11:53:30

manacher 算法详解

对应解释网站

Manacher - OI Wiki (oi-wiki.org)

Manacher（马拉车）————O(n)回文子串 - 沉~杉 - 博客园 (cnblogs.com)

背景

在这里插入图片描述

简介

Manacher算法是一种用于寻找字符串中最长回文子串的高效算法。它的时间复杂度为O(n)，其中n是字符串的长度。该算法由Glenn Manacher在1975年提出，并在后续的研究中被不断完善。

算法思想

Manacher算法的核心思想是利用已经计算出的回文信息来减少重复计算。具体来说，当我们在字符串中找到一个回文串时，可以利用这个回文串的对称性来推断出其他位置可能存在的回文串。

算法步骤

预处理：
- 为了简化处理过程，通常会在原字符串的每个字符之间插入一个特殊字符（比如’#'），并在字符串的开始和结束处各添加一个特殊字符。这样做是为了避免边界问题，并且使得回文串既可以是奇数长度也可以是偶数长度。
例如，对于字符串"abcba"，预处理后变为"#a#b#c#b#a#"。

在此举个例子：s=‘abbadcacda’先转化成s_new=’ $KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '#' at position 1: #̲a#b#b#a#d#c#a#c\dots$ ‘与’\0’，是边界）

这样原串中的偶回文（abba）与奇回文（adcacda），变成了（#a#d#d#a#）与（#a#d#c#a#c#d#a#）两个奇回文。
定义数组P：
- 定义一个数组P，其中P[i]表示以第i个字符为中心的最大回文半径（不包括中心字符本身）。

例子如下：

动态规划：
- 初始化两个变量C和R，其中C表示当前回文中心的位置，R表示当前回文右边界的位置。
- 遍历预处理后的字符串，对于每个位置 i：
  - 如果i < R，那么可以利用对称性，找到i关于C的镜像位置mirr = 2 * C - i，并利用已知的P[mirr]值来初始化P[i]的最小值。
  - 如果i + P[i] > R，则需要从R + 1开始扩展回文串，直到找到不成立的情况为止。
  - 更新C和R的值，如果i + P[i] > R，则C = i，R = i + P[i]。
查找最长回文子串：
- 在遍历过程中，记录下最大的P[i]值及其对应的索引，最后根据这个索引和值就可以找出最长的回文子串。

示例代码

def manacher(s):
    # Preprocess the string to avoid edge cases
    t = '#' + '#'.join(s) + '#'
    n = len(t)
    p = [0] * n
    center, right = 0, 0

    for i in range(n):
        mirror = 2 * center - i
        if i < right:
            p[i] = min(right - i, p[mirror])

        # Attempt to expand palindrome centered at i
        while i + p[i] + 1 < n and i - p[i] - 1 >= 0 and t[i + p[i] + 1] == t[i - p[i] - 1]:
            p[i] += 1

        # If palindrome centered at i expands past right,
        # adjust center based on expanded palindrome.
        if i + p[i] > right:
            center, right = i, i + p[i]

    # Find the maximum element in p
    max_len, center_index = max((n, i) for i, n in enumerate(p))
    return s[(center_index - max_len) // 2: (center_index + max_len) // 2]

# Example usage
print(manacher("abcbabcbabcba"))  # Outputs: "abcbabcba"