【优选算法】二分算法模板总结及应用

模板

左边界：
左边区间 [left, resLeft - 1] 都是⼩于 x 的；
▪ 右边区间（包括左边界） [resLeft, right] 都是⼤于等于 x 的；
• 因此，关于 mid 的落点，我们可以分为下⾯两种情况：
◦ 当我们的 mid 落在 [left, resLeft - 1] 区间的时候，也就是 arr[mid] <
target 。说明 [left, mid] 都是可以舍去的，此时更新 left 到 mid + 1 的位置，
继续在 [mid + 1, right] 上寻找左边界；
◦ 当 mid 落在 [resLeft， right] 的区间的时候，也就是 arr[mid] >= target 。
说明 [mid + 1, right] （因为 mid 可能是最终结果，不能舍去）是可以舍去的，此时
更新 right 到 mid 的位置，继续在 [left, mid] 上寻找左边界；
• 由此，就可以通过⼆分，来快速寻找左边界；
注意：这⾥找中间元素需要向下取整。
因为后续移动左右指针的时候：
• 左指针： left = mid + 1 ，是会向后移动的，因此区间是会缩⼩的；
• 右指针： right = mid ，可能会原地踏步（⽐如：如果向上取整的话，如果剩下 1,2 两个元素， left == 1 ， right == 2 ， mid == 2 。更新区间之后， left，right，mid 的值没有改变，就会陷⼊死循环）。
因此⼀定要注意，当 right = mid 的时候，要向下取整。

右边界：
⽤ resRight 表⽰右边界；
◦ 我们注意到右边界的特点：
▪ 左边区间 （包括右边界） [left, resRight] 都是⼩于等于 x 的；
▪ 右边区间 [resRight+ 1, right] 都是⼤于 x 的；
• 因此，关于 mid 的落点，我们可以分为下⾯两种情况：
◦ 当我们的 mid 落在 [left, resRight] 区间的时候，说明 [left, mid - 1]
（ mid 不可以舍去，因为有可能是最终结果） 都是可以舍去的，此时更新 left 到mid的位置； ◦ 当 mid 落在 [resRight+ 1, right] 的区间的时候，说明 [mid, right] 内的元素是可以舍去的，此时更新 right 到 mid - 1 的位置；
• 由此，就可以通过⼆分，来快速寻找右边界；
注意：这⾥找中间元素需要向上取整。
因为后续移动左右指针的时候：
• 左指针： left = mid ，可能会原地踏步（⽐如：如果向下取整的话，如果剩下 1,2 两个元素， left == 1， right == 2，mid == 1 。更新区间之后， left，right，mid 的值没有改变，就会陷⼊死循环）。
• 右指针： right = mid - 1 ，是会向前移动的，因此区间是会缩⼩的；
因此⼀定要注意，当 right = mid 的时候，要向下取整。

搜索插入位置

class Solution {
public:
    int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {
        if(nums[nums.size()-1]<target) return nums.size();
        int left=0,right=nums.size()-1;
        while(left<right)
        {
            int mid=left+(right-left)/2;
            if(nums[mid]<target) left=mid+1;
            else right=mid; 
        }
        return left;
    }
};

a. 分析插⼊位置左右两侧区间上元素的特点：
设插⼊位置的坐标为 index ，根据插⼊位置的特点可以知道：
• [left, index - 1] 内的所有元素均是⼩于 target 的；
• [index, right] 内的所有元素均是⼤于等于 target 的。
b. 设 left 为本轮查询的左边界， right 为本轮查询的右边界。根据 mid 位置元素的信
息，分析下⼀轮查询的区间：
▪ 当 nums[mid] >= target 时，说明 mid 落在了 [index, right] 区间上，
mid 左边包括 mid 本⾝，可能是最终结果，所以我们接下来查找的区间在 [left,
mid] 上。因此，更新 right 到 mid 位置，继续查找。
▪ 当 nums[mid] < target 时，说明 mid 落在了 [left, index - 1] 区间上，mid 右边但不包括 mid 本⾝，可能是最终结果，所以我们接下来查找的区间在 [mid + 1, right]上。因此，更新 left 到 mid + 1 的位置，继续查找。
c. 直到我们的查找区间的⻓度变为 1 ，也就是 left == right 的时候， left 或者
right 所在的位置就是我们要找的结果。

x的平方根

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if(x<1) return 0;
        int left=1,right=x;
        while(left<right)
        {
            long long mid=left+(right-left+1)/2;
            if(mid*mid<=x) left=mid;
            else right=mid-1; 
        }
        return left;
    }
};

设 x 的平⽅根的最终结果为 index ：
a. 分析 index 左右两次数据的特点：
▪ [0, index] 之间的元素，平⽅之后都是⼩于等于 x 的；
▪ [index + 1, x] 之间的元素，平⽅之后都是⼤于 x 的。
因此可以使⽤⼆分查找算法。

山峰数组的峰顶索引

class Solution {
public:
    int peakIndexInMountainArray(vector<int>& arr) {
        int left=0,right=arr.size()-1;
        while(left<right)
        {
            int mid=left+(right-left+1)/2;
            if(arr[mid]>arr[mid-1]) left=mid;
            else right=mid-1;
        }
        return left;
    }
};

分析峰顶位置的数据特点，以及⼭峰两旁的数据的特点：
◦ 峰顶数据特点： arr[i] > arr[i - 1] && arr[i] > arr[i + 1] ；
◦ 峰顶左边的数据特点： arr[i] > arr[i - 1] && arr[i] < arr[i + 1] ，也就是
呈现上升趋势；
◦ 峰顶右边数据的特点： arr[i] < arr[i - 1] && arr[i] > arr[i + 1] ，也就是
呈现下降趋势。
2. 因此，根据 mid 位置的信息，我们可以分为下⾯三种情况：
◦ 如果 mid 位置呈现上升趋势，说明我们接下来要在 [mid + 1, right] 区间继续搜索；
◦ 如果 mid 位置呈现下降趋势，说明我们接下来要在 [left, mid - 1] 区间搜索；
◦ 如果 mid 位置就是⼭峰，直接返回结果。

寻找峰值

class Solution {
public:
    int findPeakElement(vector<int>& nums) {
        int left=0,right=nums.size()-1;
        while(left<right)
        {
            int mid=left+(right-left+1)/2;
            if(nums[mid]>nums[mid-1]) left=mid;
            else right=mid-1;
        }
        return left;
    }
};

寻找⼆段性：
任取⼀个点 i ，与下⼀个点 i + 1 ，会有如下两种情况：
• arr[i] > arr[i + 1] ：此时「左侧区域」⼀定会存在⼭峰（因为最左侧是负⽆
穷），那么我们可以去左侧去寻找结果；
• arr[i] < arr[i + 1] ：此时「右侧区域」⼀定会存在⼭峰（因为最右侧是负⽆
穷），那么我们可以去右侧去寻找结果。
当我们找到「⼆段性」的时候，就可以尝试⽤「⼆分查找」算法来解决问题。

寻找旋转数组中的最小值

class Solution {
public:
    int findMin(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        int left = 0, right = n - 1;

        // 如果数组没有旋转，直接返回第一个元素
        if (nums[left] < nums[right]) {
            return nums[left];
        }

        // 二分查找
        while (left < right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;

            // 如果中间元素大于第一个元素，说明最小元素在右半部分
            if (nums[mid] > nums[right]) {
                left = mid + 1;
            } else {
                // 否则，最小元素在左半部分
                right = mid;
            }
        }

        return nums[left];
    }
};

其中 C 点就是我们要求的点。
⼆分的本质：找到⼀个判断标准，使得查找区间能够⼀分为⼆。
通过图像我们可以发现， [A，B] 区间内的点都是严格⼤于 D 点的值的， C 点的值是严格⼩于 D 点的值的。但是当 [C，D] 区间只有⼀个元素的时候， C 点的值是可能等于 D 点的值的。
因此，初始化左右两个指针 left ， right ：
然后根据 mid 的落点，我们可以这样划分下⼀次查询的区间：
▪ 当 mid 在 [A，B] 区间的时候，也就是 mid 位置的值严格⼤于 D 点的值，下⼀次查
询区间在 [mid + 1，right] 上；
▪ 当 mid 在 [C，D] 区间的时候，也就是 mid 位置的值严格⼩于等于 D 点的值，下次查询区间在 [left，mid] 上。
当区间⻓度变成 1 的时候，就是我们要找的结果。