《数字图像处理》第三章 灰度变换与空间滤波学习笔记（3.1-3.2）反转、对数、幂律、分段线性等变换

请注意:笔记内容片面粗浅，请读者批判着阅读！

3.1 背景知识：空间域处理基础

核心概念解析

1. 空间域定义
   空间域指图像平面本身，其处理直接作用于像素矩阵（区别于频率域的变换处理）。
   数学表达式：
   $$g(x,y)=T[f(x,y)]$$
   其中$$f(x,y)$$为输入图像，$$T$$为作用于点$$(x,y)$$邻域的算子。

2. 处理类型分类

   • 灰度变换（点操作）：仅依赖单个像素值的映射（如对比度拉伸）
   • 空间滤波（邻域操作）：基于像素邻域的加权计算（如锐化、模糊）

3. 邻域处理机制
   以3×3邻域为例，通过滑动窗口遍历整幅图像，边界处理策略包括：零填充、镜像填充或截断操作。

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3.2 灰度变换函数实践

3.2.1 图像反转变换（Image Negatives）

理论说明

• 公式：
  $$s=L-1-r$$
  其中$$L$$为最大灰度值（8-bit图像$$L=256$$）
• 应用场景：增强暗区细节（如X光片中的微小病变）

Python实现

import cv2
import matplotlib.pyplot as plt
from pylab import mpl
# 设置显示中文字体
mpl.rcParams["font.sans-serif"] = ["SimHei"]
# 设置正常显示符号
mpl.rcParams["axes.unicode_minus"] = False

# 读取图像并反转
img = cv2.imread(r"D:\software\opencv\opencv\sources\samples\data\lena.jpg", 0)
img_neg = 255 - img

# 显示对比
plt.figure(figsize=(10,5))
plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap='gray'), plt.title('原始图片')
plt.subplot(122), plt.imshow(img_neg, cmap='gray'), plt.title('反转变换')
plt.show()

3.2.2 对数变换（Log Transformations）

• 数学表达式：
  $$s=c\cdot \log (1+r)$$
• 核心作用：
  扩展暗区动态范围，压缩亮区信息（适用于高动态范围图像显示）

import numpy as np
import cv2


def log_transform(img, c=1):
    img_normalized = img / 255.0  # 归一化到[0,1]
    s = c * np.log(1 + img_normalized)
    return np.uint8(s * 255)


img1 = cv2.imread(r"log.png", 0)
# 应用对数变换
img_log = log_transform(img1, c=50)
cv2.imshow('Log Transform', img_log)
cv2.waitKey(0)

3.2.3 幂律（伽马）变换（Gamma Correction）

• 数学表达式：
  $$s=c\cdot r^{\gamma }$$
• 变换效果：

  γ值范围	处理效果
  γ<1	增强暗区对比度
  γ>1	增强亮区对比度
  γ=1	线性不变

import cv2
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np


def gamma_correction(img, gamma=1.0, c=1):
    table = c * (np.arange(256) / 255.0) ** gamma * 255
    table = np.clip(table, 0, 255).astype('uint8')
    return cv2.LUT(img, table)


img1 = cv2.imread(r"fly.png", 0)
# 不同gamma值对比
# gammas = [0.4, 0.6, 1.5]
gammas = [2, 3, 4]
results = [gamma_correction(img1, g) for g in gammas]

plt.figure(figsize=(15, 5))
for i in range(3):
    plt.subplot(1, 3, i + 1)
    plt.imshow(results[i], cmap='gray')
    plt.title(f'γ={gammas[i]}')
plt.show()

3.2.4 分段线性变换

• 对比度拉伸：
  扩展特定灰度区间，数学表达式为三阶段线性映射。

import cv2
import numpy as np


def contrast_stretching(img, r1=50, r2=200, s1=0, s2=255):
    lut = np.zeros(256, dtype=np.uint8)
    # 暗部压缩到0
    lut[0:r1] = np.linspace(0, s1, r1)
    # 中间区域拉伸到全范围
    lut[r1:r2] = np.linspace(s1, s2, r2 - r1)
    # 亮部压缩到255
    lut[r2:] = np.linspace(s2, 255, 256 - r2)
    return cv2.LUT(img, lut)


img1 = cv2.imread(r"f.png", 0)
img_stretched = contrast_stretching(img1)
cv2.imshow('Contrast Stretched', img_stretched)
cv2.waitKey(0)

• 灰度级分层：

  方法类型	处理效果
  阈值法	突出特定灰度区域
  区域保留法	背景抑制与目标增强

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关键公式对比表

变换类型	数学表达式	动态范围控制能力	计算复杂度	应用场景	OpenCV核心函数
反转变换	$$s=L-1-r$$	线性全局调整	O(1)	暗区细节增强（X光、显微图像）	cv2.bitwise_not
对数变换	$$s=c\log (1+r)$$	非线性压缩亮区	O(n)	高动态范围压缩（频谱显示）	cv2.normalize + np.log
幂律变换	$$s=c{r}^{\gamma }$$	可调节非线性特性	O(n)	显示校正/对比度增强（MRI、CT）	cv2.LUT查表法
分段线性变换	多段线性组合	局部精确控制	O(n)	ROI增强（卫星图像、医学ROI）	cv2.LUT自定义映射表

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技术原理拓展

1. 直方图修正理论
   通过概率密度函数调整实现灰度重分布，满足：
   $$p_s(s)=p_r(r)\left|\frac{dr}{ds}\right|$$

2. 空间滤波数学基础
   离散卷积公式：
   $$(f\ast h)(x,y)=\sum _{i=-a}^a\sum _{j=-b}^{b}f(x-i,y-j)h(i,j)$$

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应用场景推荐

1. 工业检测：幂律变换增强产品表面划痕
2. 卫星遥感：分段线性变换分离植被与水体
3. 摄影后期：对数变换恢复过曝天空细节