【每日一题】YACS P817：两数归零

题目描述

这是上海计算机学会竞赛P817：两数归零
标签：$map$、二分查找
给定 $n$ 个整数 $a_1,a_2,a_3,...,a_n$，请统计有多少二元组 $i,j$ 满足 $i<j$ 且满足 $a_i+a_j=0$
数据范围：$1<=n<=300000$，$-1,000,000,000\le a_i\le 1,000,000,000$

暴力枚举解法

很多同学看到题目就想着直接两层循环模拟，这样的时间复杂度是 $O(n^2)$ 即最坏情况：$9\ast 10^{10}$，很明显会超时，这种方式能拿 $60$ 分。
$60$ 分代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int a[300005];

int main() {
    int n, ans = 0;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
            if (a[i] + a[j] == 0) ans++;
        }
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

二分查找解法

我们课上讲过，可以通过二分去找到某个数字在有序序列中第一次出现的下标位置和最后一次出现的下标位置，那么这个区间长度就是这个数字在这个序列中出现的次数。

当然手写二分，这也太累了吧。所以我们决定调用 $STL$ 中的二分查找函数。

$lower\_bound(a,a+n,val)$：找到有序序列 $a$ 中大于等于 $val$ 的第一个位置

$upper\_bound(a,a+n,val)$：找到有序序列 $a$ 中大于 $val$ 的第一个位置

通过位置差值获取$val$在这个有序序列中的个数，那么回到这道题，我们可以先给$a$数组排序，然后遍历每一个数$a_i$，然后通过以上讲解的方式去得到这个有序序列中$-a_i$的个数，然后把个数进行一个累计。

当然，因为题目中要求$i<j$，我们直接这样找会有重复的情况出现，比如第$1$项和第$3$项之和为 $0$，我们遍历到第$3$项的时候又会把第$1$项之和为$0$的情况算上去，所以最终累计的计数要除以$2$。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int a[300005];

int main() {
    int n, ans = 0;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    sort(a + 1, a + 1 + n);

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int l = lower_bound(a + 1, a + 1 + n, -a[i]) - a;
        int r = upper_bound(a + 1, a + 1 + n, -a[i]) - a;
        ans += r - l;
    }

    cout << ans / 2 << endl;
    return 0;
}

$map解法$

直接从前往后遍历一遍，到第$i$个数$a_i$的时候，看看前面$-a_i$的个数，把计数加上去，最后就是答案了。该题$a_i$数据范围比较大，并且有负数，所以我们需要用$map$维护一下。
代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int a[300005];
map<int, int> m;

int main() {
    int n, ans = 0;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        ans += m[-a[i]];
        m[a[i]]++;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}