Bessel位势方程求解步骤

问题

考虑偏微分方程（PDE）：
$$-\Delta u+u=f,x\in {\mathbb{R}}^n,$$
其中 $$f\in L^2({\mathbb{R}}^n)$$。这是一个线性椭圆型方程，称为 Bessel 位势方程。目标是求解 $$u$$。

由于定义域为整个 $${\mathbb{R}}^n$$，使用傅里叶变换方法处理，因为傅里叶变换能将微分算子转化为乘法算子，简化求解过程。

求解步骤

步骤 1: 应用傅里叶变换

对原方程两边应用傅里叶变换。傅里叶变换定义为：
$$\hat{u}(\xi )={\int }_{{\mathbb{R}}^n}u(x)e^{-ix\cdot \xi }dx.$$
拉普拉斯算子 $$\Delta$$ 的傅里叶变换性质为：
$$\widehat{-\Delta u}(\xi )=|\xi {|}^2\hat{u}(\xi ).$$
因此，方程 $$-\Delta u+u=f$$ 的傅里叶变换为：
$$\widehat{-\Delta u+u}=\hat{f}⟹|\xi {|}^2\hat{u}(\xi )+\hat{u}(\xi )=\hat{f}(\xi ),$$
即：
$$(|\xi {|}^2+1)\hat{u}(\xi )=\hat{f}(\xi ).$$
解得：
$$\hat{u}(\xi )=\frac{\hat{f}(\xi )}{|\xi {|}^2+1}.$$

步骤 2: 傅里叶逆变换

通过傅里叶逆变换求 $$u(x)$$。傅里叶逆变换为：
$$u(x)=\frac{1}{(2\pi {)}^n}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\hat{u}(\xi )e^{ix\cdot \xi }d\xi =\frac{1}{(2\pi {)}^n}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\frac{\hat{f}(\xi )}{|\xi {|}^2+1}{e}^{ix\cdot \xi }d\xi .$$
这可以写为卷积形式：
$$u(x)=(G\ast f)(x)={\int }_{{\mathbb{R}}^n}G(x-y)f(y)dy,$$
其中 $$G$$ 是格林函数，满足：
$$-\Delta G+G=\delta ,$$
且 $$\delta$$ 是 Dirac delta 分布。这里，$$G$$ 的傅里叶变换为：
$$\hat{G}(\xi )=\frac{1}{|\xi {|}^2+1},$$
因此：
$$G(z)={\mathcal{F}}^{-1}\left(\frac{1}{|\xi {|}^2+1}\right)(z).$$

步骤 3: 计算格林函数 $$G(z)$$

计算 $$G(z)={\mathcal{F}}^{-1}\left(\frac{1}{|\xi {|}^2+1}\right)(z)$$。由于被积函数是径向函数（仅依赖于 $$|\xi |$$，$$G(z)$$ 也是径向函数，即 $$G(z)=G(|z|)$$。设 $$r=|z|$$，则：
$$G(z)=\frac{1}{(2\pi {)}^n}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\frac{e^{iz\cdot \xi }}{|\xi {|}^2+1}d\xi .$$
在球坐标系下，积分可化为：
$$G(z)=\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}|z{|}^{-\frac{n-2}{2}}{\int }_0^{\infty }\frac{J_{\frac{n-2}{2}}(\rho |z|){\rho }^{\frac{n}{2}}}{{\rho }^2+1}d\rho ,$$
其中 $$J_{\nu }$$ 是第一类 Bessel 函数，$$\nu =\frac{n-2}{2}$$。利用积分恒等式：
$${\int }_0^{\infty }\frac{J_{\nu }(k)k^{\nu +1}}{k^2+a^2}dk=a^{\nu }{K}_{\nu }(a),\text{Re}\nu >-1,a>0,$$
其中 $$K_{\nu }$$ 是第二类修正 Bessel 函数。代入 $$a=|z|$$ 和 $$k=\rho$$，得：
$${\int }_0^{\infty }\frac{J_{\frac{n-2}{2}}(\rho |z|){\rho }^{\frac{n}{2}}}{{\rho }^2+|z{|}^2}d\rho =|z{|}^{\frac{n-2}{2}}{K}_{\frac{n-2}{2}}(|z|).$$
因此：
$$G(z)=\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}|z{|}^{-\frac{n-2}{2}}\cdot |z{|}^{\frac{n-2}{2}}{K}_{\frac{n-2}{2}}(|z|)=\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}|z{|}^{\frac{2-n}{2}}{K}_{\frac{n-2}{2}}(|z|).$$

步骤 4: 解的表达式

最终解为：
$$u(x)={\int }_{{\mathbb{R}}^n}G(x-y)f(y)dy,$$
其中格林函数：
$$G(z)=\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}|z{|}^{\frac{2-n}{2}}{K}_{\frac{n-2}{2}}(|z|).$$

解的性质

• 存在性与唯一性：由于 $$f\in L^2({\mathbb{R}}^n)$$，且算子 $$-\Delta +1$$ 在 $$L^2({\mathbb{R}}^n)$$ 上正定可逆，解 $$u$$ 存在、唯一，且属于 $$L^2({\mathbb{R}}^n)$$。
• 正则性：解 $$u$$ 具有较好的正则性，因为格林函数 $$G(z)$$ 在无穷远处指数衰减。

答案

解为：
$$\boxed{u(x)={\int }_{{\mathbb{R}}^n}G(x-y)f(y)dy}$$
其中格林函数：
$$\boxed{G(z)=\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}|z{|}^{\frac{2-n}{2}}{K}_{\frac{n-2}{2}}(|z|)}$$
这里 $$K_{\nu }$$ 是第二类修正 Bessel 函数。