numpy学习笔记14：模拟随机游走过程

numpy学习笔记14：模拟随机游走过程

随机游走是一种数学统计模型，其中的每一步方向和大小都是随机的。下面使用 NumPy 模拟一维和二维的随机游走过程：

1.代码示例

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

def simulate_1d_random_walk(num_steps):
    """
    模拟一维随机游走
    :param num_steps: 游走的步数
    :return: 一维随机游走的位置数组
    """
    steps = np.random.choice([-1, 1], size=num_steps)
    positions = np.cumsum(steps)
    return positions


def simulate_2d_random_walk(num_steps):
    """
    模拟二维随机游走
    :param num_steps: 游走的步数
    :return: 二维随机游走的 x 和 y 坐标数组
    """
    steps_x = np.random.choice([-1, 1], size=num_steps)
    steps_y = np.random.choice([-1, 1], size=num_steps)
    positions_x = np.cumsum(steps_x)
    positions_y = np.cumsum(steps_y)
    return positions_x, positions_y


# 模拟一维随机游走
num_steps_1d = 1000
positions_1d = simulate_1d_random_walk(num_steps_1d)

# 绘制一维随机游走轨迹
plt.figure(figsize=(12, 5))
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(positions_1d)
plt.title('一维随机游走')
plt.xlabel('步数')
plt.ylabel('位置')


# 模拟二维随机游走
num_steps_2d = 1000
positions_x, positions_y = simulate_2d_random_walk(num_steps_2d)

# 绘制二维随机游走轨迹
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(positions_x, positions_y)
plt.title('二维随机游走')
plt.xlabel('X 位置')
plt.ylabel('Y 位置')

plt.tight_layout()
plt.show()

1. simulate_1d_random_walk 函数：该函数通过 np.random.choice 从 [-1, 1] 中随机选择 num_steps 个步长，然后使用 np.cumsum 计算累积和，得到一维随机游走的位置数组。
2. simulate_2d_random_walk 函数：分别为 x 和 y 方向生成随机步长，再分别计算它们的累积和，得到二维随机游走的 x 和 y 坐标数组。
3. 可视化部分：使用 matplotlib 绘制一维和二维随机游走的轨迹图。

2. 分步解释

(1) 生成随机步长

steps = np.random.choice([-1, 1], size=1000)

• 功能：生成包含 1000 个元素的数组，每个元素随机为 -1（向左移动）或 1（向右移动）。

• 概率：默认均匀分布，即 -1 和 1 出现的概率均为 50%。

(2) 计算累积位移

positions = np.cumsum(steps)

• 功能：通过 np.cumsum() 对步长数组逐步累加，生成随时间变化的位置序列

(3) 可视化结果

plt.plot(positions)

• 输出：绘制位置随时间变化的折线图，展示粒子的随机运动轨迹。

3. 示例输出图形

横轴为步数，纵轴为位置，展示粒子在直线上的随机移动轨迹。

4. 扩展分析

(1) 多次模拟统计特性

# 模拟100次随机游走，观察平均行为
n_simulations = 100
final_positions = [np.sum(np.random.choice([-1,1], 1000)) for _ in range(n_simulations)]

plt.hist(final_positions, bins=20, density=True)
plt.title("Distribution of Final Positions (100 Simulations)")
plt.xlabel("Final Position")
plt.ylabel("Probability Density")
plt.show()

• 结果：最终位置近似服从正态分布（中心极限定理）。

(2) 均方位移分析

5. 关键参数调整

• 非对称概率（如向右概率 70%）：

  steps = np.random.choice([-1,1], size=1000, p=[0.3, 0.7])

• 可变步长（如步长为 0.5 或 2）：

  steps = np.random.choice([-0.5, 2], size=1000)

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6. 应用场景

1. 金融价格模型：模拟股票价格的随机波动。

2. 分子扩散：研究微粒在液体中的布朗运动。

3. 算法测试：评估路径规划或搜索算法的性能。

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通过上述代码和分析，你可以灵活模拟不同条件下的随机游走，并深入理解其统计特性！