【AI知识】常见的优化器及其原理：梯度下降、动量梯度下降、AdaGrad、RMSProp、Adam、AdamW

在机器学习和深度学习中，优化器用于调整模型参数以最小化损失函数，是训练模型的关键组件。以下是一些常见的优化器：

梯度下降（Gradient Descent, GD）

梯度下降是最基础的优化算法，核心思想是：沿着损失函数梯度的反方向更新参数，即参数的更新方向是损失函数梯度的负方向。（梯度解释：【AI知识】导数，偏导，梯度的解释），梯度下降的公式为：

学习率解释： 表示模型参数更新的步长大小，控制着迭代过程中参数沿着梯度方向调整的幅度。

• 较大的学习率可以加快收敛速度，但可能导致参数更新过大，错过最优解甚至发散（模型发散是指在数值计算或优化过程中，模型的解或参数随着迭代次数的增加变得不稳定，甚至趋向于无穷大，导致计算结果失去物理意义或无法收敛到预期值）
• 较小的学习率虽然更新稳定，但收敛速度慢，可能需要更多的训练时间

梯度下降有以下几个变种:

• 批量梯度下降（Batch Gradient Descent, BGD）：使用整个训练数据计算梯度，更新参数。收敛稳定，但计算开销大，每次迭代都需要遍历整个数据集，不适合处理超大规模数据集

• 随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent, SGD）：每次迭代随机选择一个训练样本计算梯度，并更新模型参数，计算效率高但收敛不稳定（由于每次更新的方向不同，参数更新过程会有较大波动，可能无法很好地收敛到最优点）

• 小批量梯度下降（Mini-Batch Gradient Descent）：在 BGD 和 SGD 之间折中，每次使用一个小批量（一般大小为 32、64、128 等）样本计算梯度。
  1）相比于 BGD，每次更新的计算量更少，适合大规模数据。
  2）相比于SGD，梯度更新不会剧烈震荡，收敛更平稳。
  3）小批量计算可以并行处理，提高计算效率。
  4）但批量大小（Batch Size）影响训练效果，太大会导致模型训练慢，太小会导致震荡。

局部最小值、全局最小值和鞍点

1. 局部最小值： 是指函数在某个邻域内取得的最小值。局部最小值只是在某个局部范围内最小，不一定是整个函数的最小值（全局最小值）。如果函数可微分，在局部最小值点处，梯度通常为零。

2. 全局最小值： 是指函数在整个定义域内取得的最小值。全局最小值点可能不存在（例如，函数无下界），也可能不唯一（例如，常数函数）。

3.鞍点： 鞍点是指函数在某个点处梯度为零，但该点既不是局部最小值也不是局部最大值。（可以通过 Hessian 矩阵来判断一个点是否为鞍点，我也不懂T T ）

鞍点在某些方向上是局部最小值，而在另一些方向上是局部最大值。

在优化问题中，鞍点通常是一个挑战，因为梯度下降算法可能会在鞍点处停滞。

凸函数和非凸函数

在数学优化和机器学习中，函数的**凸性（Convexity）**是一个非常重要的概念，凸函数和非凸函数在函数形状和优化性质上有显著区别，它直接影响梯度下降算法的收敛性和是否能找到全局最优解。

1. 凸函数（Convex Function）： 函数的任意两个点连成的直线，不会低于函数曲线（即函数曲线在直线的下方或重合）。

此图参考自：凸函数与非凸函数

特征：

• 单峰（一个最低点），类似于碗的形状（开口向上）
• 任意局部最优解都是全局最优解
• 在优化问题中，凸函数通常更容易求解，因为其优化过程具有唯一性和稳定性，使用梯度下降算法能保证找到最优解

2. 非凸函数（Non-Convex Function）： 如果一个函数不满足凸函数的定义，即为非凸函数。

特征：

• 多峰（多个局部最小值），类似于山谷或波浪形状
• 可能存在多个局部最优点，优化过程中可能会卡在局部最优而非全局最优
• 优化复杂，需要动量、学习率调整等策略避免陷入局部最优

由上可知，非凸函数优化问题是比较难的，其中局部最小值和鞍点可能会阻碍优化算法找到全局最小值，接下来介绍一些别的优化器算法：

动量梯度下降（Momentum）

动量梯度下降（Momentum Gradient Descent）是一种优化梯度下降的方法，它在参数更新时加入 动量（Momentum） 的概念，使得优化过程更平滑、更快，并能够有效跳过鞍点和局部最优。

梯度下降的问题：

• 收敛速度慢： 在椭圆形的损失函数里（损失函数在不同方向上的曲率相差很大，在某些方向上变化很快，在另一些方向上变化很慢），梯度下降的方向会不断震荡，导致收敛速度慢

• 容易陷入局部最优： 在非凸优化问题中，梯度下降可能会卡在局部最优，难以继续下降到更优解

• 鞍点问题： 在高维空间，梯度在某些方向上很小（如鞍点），优化可能会停滞

什么是动量： 模拟物理中的惯性现象，在优化过程中，不仅考虑当前的梯度的方向，还会保留一部分之前梯度的方向，这被称为“动量”，可利用过去梯度的累积信息来平滑当前更新方向，帮助梯度下降更快地收敛，并减少在某些方向上的震荡。

动量梯度下降的更新规则：

其中 $\beta$是动量因子，用于控制历史梯度的影响程度， $\beta =0$相当于普通梯度下降（没有动量），$\beta =0.9$是一般情况下的推荐值，更新较平滑。

优点：

• 加入“惯性”，类似于物体运动，之前的梯度会影响当前的梯度，在梯度方向变化时减少震荡，使得优化路径更稳定
• 在鞍点处不会停滞，因为动量会推动参数继续前进，使得参数能突破局部最优点

缺点：

• 需要调参：动量因子 β 和学习率 α 需要精心调节，否则可能影响收敛效果
• 可能错过最优解：由于惯性，动量法可能冲过局部最优解或全局最优解

自适应学习率优化器

这类优化器能根据梯度信息动态调整学习率，提高收敛速度，并避免学习率过大或过小导致的训练问题。

AdaGrad（Adaptive Gradient Algorithm）​

AdaGrad通过累积所有梯度的平方来调整学习率。对于每个参数，学习率会根据其历史梯度的大小进行调整，使得频繁出现较大梯度的参数具有较小的学习率，而梯度较小的参数具有较大的学习率。

​优点： 适合处理稀疏数据，对低频参数更新较大，对高频参数更新较小

​缺点： 随着训练进行，累积梯度平方会越来越大，导致学习率逐渐减小，可能使训练过程变得非常缓慢

RMSProp（Root Mean Square Propagation）​

RMSProp通过计算梯度的指数衰减平均来调整学习率，解决了AdaGrad学习率过快减小的问题，它使用一个衰减率（通常表示为 ρ）来控制历史梯度的影响。

优点： 缓解了AdaGrad学习率过快减小的问题，适合处理非平稳目标和有噪声的梯度。

​缺点： 需要手动调整衰减率参数

​Adam（Adaptive Moment Estimation）​

Adam结合了动量法和RMSProp的优点。它不仅考虑了梯度的一阶矩（即动量），还考虑了梯度的二阶矩（即梯度平方的指数移动平均）。通过这两个矩的估计，Adam能够更有效地调整学习率。

优点： 结合了动量和自适应学习率的优点，收敛速度快，性能好

​缺点： 初始学习率可能过高，导致模型发散

AdamW（Adam with Weight Decay）

AdamW 是 Adam 优化器的一个改进版本，全称为 ​Adam with Weight Decay。它通过将权重衰减（Weight Decay）与梯度更新过程解耦，解决了传统 Adam 优化器中权重衰减与自适应学习率机制之间的冲突问题，从而提升了模型训练的稳定性和泛化性能。

1. 这里先介绍一下什么是权重衰减？

权重衰减（Weight Decay）是 一种正则化技术，主要作用如下：

• 防止过拟合：减少模型复杂度，避免学习到过拟合的参数。
• 稳定训练：通过逐步缩小权重，使模型收敛更稳定。
• 提高泛化能力：让模型在测试集上表现更好。

在优化过程中，权重衰减会在每次参数更新时，对模型的权重施加一个额外的惩罚，使模型参数（权重）逐渐缩小，从而控制模型的复杂度。权重衰减通常是通过 L2 正则化 实现的，即在损失函数中加入 权重的平方和 作为惩罚项：

2. Adam中的权重衰减有什么问题？

传统 Adam 将权重衰减（L2 正则化项）直接添加到损失函数中，导致权重衰减与梯度更新耦合。由于 Adam 的自适应学习率机制，这种耦合会导致权重衰减的实际效果被学习率缩放，降低正则化效果

3. AdamW如何改进？

AdamW 将权重衰减从损失函数中解耦，直接在参数更新步骤中独立应用权重衰减，解决了 Adam 的错误 L2 正则化问题，避免了自适应学习率对权重衰减的干扰

4. 为什么 AdamW 更适合深度学习？

• 减少 L2 正则化的梯度缩放影响：在大规模深度学习模型（如 BERT、GPT、ResNet）中，Adam 的 L2 正则化可能会导致模型的某些层参数衰减过快或过慢。 AdamW 使权重衰减独立于梯度计算，提高训练稳定性。

• 更快收敛：由于 AdamW 避免了 L2 正则化的错误影响，使优化器能更快找到最优解。

• 更好的泛化能力：AdamW 在训练过程中对参数进行正确的权重衰减，减少过拟合，提高泛化能力。

总结： AdamW 通过改进权重衰减的方式，提升了模型的正则化效果和训练稳定性，是当前深度学习中的重要优化器之一