整体二分算法讲解及例题

算法思想

整体二分，带有二分二字那么就一定和二分脱不了干系。
整体二分算法常用来解决询问区间的第$k$小值的问题，思路如下：
我们二分的对象是这道题目给定的值域，及最小值与最大值之间的区间，在题目给定的数组中，对整体的值域进行二分，我们将$mid$作为左右区间的中间值。
比如需要查询$l$~$r$区间内的第$k$小值。
然后进行一下的判断。
1.当$l$~$r$区间内小于中值$mid$的值的数量小于当前的查询$k$，那就说明当前的二分值小了，因为我们需要的是第$k$大，但是现在的$mid$可以求到的第$p$大在前$k$大范围内，所以还需继续查，那么就得往大的查，就将区间左侧放到当前的$mid$$+$$1$（$mid$的值不合法，所以无需再查）
2.但$l$~$r$区间内小于中值$mid$的值的数量大于等于当前的查询$k$，那么枚举到的区间就肯定包含前$k$大的数，所以当前区间可用，将区间右侧放到现在的$mid$处（$mid$的值是合法的，存在正确答案）
当最终的区间左右重合时，就得到最终答案了。
而现在是一个查询的情况，当我们遇到$q$个查询时，我们就先把查询存起来，然后就可以将查询分为两类，就是上面的两类，左区间和右区间分别用一个数组存起来，然后分类讨论就行了，至于二分，就可以用归并排序的版子。
还有一个重要的问题：怎么查找区间内比$mid$小的值的数量？
可以考虑用树状数组存，在原数组上对树状数组进行初始化就可以了。
记得每次递归清空树状数组，并且原数组的值随着上面的两个条件分配到左右两个区间去！
然后就可以找到一道板子题：P3834 【模板】可持久化线段树 2
就是询问的板子，就不用对题目多做分析了。代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define xx x&-x
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int n,m;
struct node{
	int l,r,k,id,op;
}a[N],ql[N],qr[N];
int answer[N];
int bit[N];
int cnt;
void change(int x,int p){
	while(x<=cnt){
		bit[x]+=p;
		x+=xx;
	}
}
int query(int x){
	int res=0;
	while(x){
		res+=bit[x];
		x-=xx;
	}
	return res;
}
void f(int l,int r,int N,int M){
	if(N>=M)return;
	if(l==r){
		for(int i=N;i<=M;i++){
			if(a[i].op==2)answer[a[i].id]=r;
		}
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	int t1=0,t2=0;
	for(int i=N;i<=M;i++){
		if(a[i].op==1){
			if(mid>=a[i].l){
				ql[++t1]=a[i];
				change(a[i].id,1);
			}
			else{
				qr[++t2]=a[i];
			}
		}
		else{
			int x=query(a[i].r)-query(a[i].l-1);
			if(x>=a[i].k){
				ql[++t1]=a[i];
			}
			else{
				a[i].k-=x;
				qr[++t2]=a[i];
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=t1;i++){
		a[i+N-1]=ql[i];
		if(ql[i].op==1)change(ql[i].id,-1);
	}
	for(int i=1;i<=t2;i++){
		a[i+N+t1-1]=qr[i];
	}
	f(l,mid,N,N+t1-1);
	f(mid+1,r,N+t1,M);
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i].l;
		a[i].id=i;
		a[i].op=1;
	}
	cnt=n;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		cnt++;
		cin>>a[cnt].l>>a[cnt].r>>a[cnt].k;
		a[cnt].id=i;
		a[cnt].op=2;
	}
	f(-1e9,1e9,1,cnt);
	for(int i=1;i<=m;i++)cout<<answer[i]<<'\n';
}

然后还有另一道题目：P1527 [国家集训队] 矩阵乘法
因为树状数组的使用类似前缀和，所以这道题就相当于改成二位前缀和。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1e6+5;
const int M=1005;
int n,m,k;
int T;
struct node{
	int lx,ly,rx,ry,k,idi,idj,op,id;
}a[N],ql[N],qr[N];
int answer[N];
int bit[M][M];
int cnt;
//快读快写好习惯
int read(){
	int x=0,p=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')p=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9')x=x*10+c-'0',c=getchar();
	return x*p;
}
void print(int x){
	if(x<0){putchar('-');x=-x;}
	if(x<10){putchar(x+'0');return;}
	print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
void change(int x,int y,int p){
	for(int i=x;i<=n;i+=i&-i)for(int j=y;j<=n;j+=j&-j)bit[i][j]+=p;
}
int query(int x,int y){
	int res=0;
	for(int i=x;i;i-=i&-i)for(int j=y;j;j-=j&-j)res+=bit[i][j];
	return res;
}
void f(int l,int r,int N,int M){
	if(N>=M)return;
	if(l==r){
		for(int i=N;i<=M;i++)if(a[i].op==2)answer[a[i].id]=r;
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	int t1=0,t2=0;
	for(int i=N;i<=M;i++){
		if(a[i].op==1){
			if(mid>=a[i].lx){
				ql[++t1]=a[i];
				change(a[i].idi,a[i].idj,1);
			}
			else{
				qr[++t2]=a[i];
			}
		}
		else{
			int x=query(a[i].rx,a[i].ry)+query(a[i].lx-1,a[i].ly-1)-query(a[i].lx-1,a[i].ry)-query(a[i].rx,a[i].ly-1);
			if(x>=a[i].k){
				ql[++t1]=a[i];
			}
			else{
				a[i].k-=x;
				qr[++t2]=a[i];
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=t1;i++){
		a[i+N-1]=ql[i];
		if(ql[i].op==1)change(ql[i].idi,ql[i].idj,-1);
	}
	for(int i=1;i<=t2;i++){
		a[i+N+t1-1]=qr[i];
	}
	f(l,mid,N,N+t1-1);
	f(mid+1,r,N+t1,M);
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	n=read(),m=read();
	int tot=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			a[++tot]=node{read(),0,0,0,0,i,j,1,0};
		}
	}
	cnt=tot;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		cnt++;
		a[cnt].lx=read(),a[cnt].ly=read(),a[cnt].rx=read(),a[cnt].ry=read(),a[cnt].k=read();
		a[cnt].op=2;
		a[cnt].id=i;
	}
	f(0,1e9,1,cnt);
	for(int i=1;i<=m;i++)print(answer[i]),putchar('\n');
}