蓝桥杯动态规划实战：从数字三角形到砝码称重
适合人群：蓝桥杯备考生 | 算法竞赛入门者 | DP学习实践者
目录
一、我的动态规划入门之路
1. 数字三角形：经典DP首战告捷
2. 砝码称重：背包问题的变形
二、蓝桥杯高频算法考点
三、蓝桥杯DP专项训练题
四、备考建议
一、我的动态规划入门之路
1. 数字三角形：经典DP首战告捷
题目描述：
从三角形的顶部到底部有很多条不同的路径。对于每条路径，把路径上面的数加起来可以得到一个和，你的任务就是找到最大的和（路径上的每一步只可沿左斜线向下或右斜线向下走）。
输入描述:
- 输入的第一行包含一个整数N（1≤N≤100)，表示三角形的行数。
- 下面的N行给出数字三角形。
(数字三角形上的数都是0至99之间的整数。)
输出描述:
- 输出一个整数，表示答案。解题思路：
我们可以先假象一个两层的三角形：
1
2 3这个时候是：1 -> 3 这时候1+3=4便是最大的路径。把这个三角形扩充到三层：
6
5 1
4 2 3此时6 -> 5 -> 4 这条路径是最大的了，但是当数字杂乱且层数多的时候就不方便找出来啦。
所以我们可以这样想，怎么把三层四层甚至多层的三角形变成两层三层的三角形。
1. 我们把最后两层换成一堆小三角形，并将最大的一个将在上一层上，如：
6
5 1
4 2 3
#################
5 | 1
4 2 | 2 3
4->5最大;3->1最大。
故而三层的三角形可以简化为：
6
9 4
这样便是两层的三角形了
也就是自底向上，代码如下：
def db(li1,li2):
for i in range(len(li1)):
if li1[i] +li2[i] >= li1[i] +li2[i+1]:
li1[i] += li2[i]
else:
li1[i] += li2[i+1]
return li1
# 请在此输入您的代码
triangle = []
n = int(input())
# 读取每一行的数字
for i in range(n):
row = list(map(int, input().split())) # 将输入的字符串分割并转换为整数列表
triangle.append(row)
# 问题处理
for k in range(n-1):
x = db(triangle[n-1-k-1],triangle[n-1-k])
triangle[n-1-k-1] = x
print(triangle[0][0])2. 我们也可以把最顶层的数加到下一层，然后又将第二层加到第三层，在比较最后一层最大的数，如：
6
5 1
4 2 3
6->5 | 6->1
-------------------
11 7
4 2 3
11->4,11->2 | 7->2,7->3
显然11>7，所以11和7都能达到的2应该选11
15 13 10 --> 15最大 自顶向下的方法，代码如下：
def main():
import sys
input = sys.stdin.read().split()
idx = 0
n = int(input[idx])
idx += 1
# 读取数塔的每一层
arr = []
for i in range(n):
row = list(map(int, input[idx:idx+i+1]))
arr.append(row)
idx += i + 1
# 初始化动态规划数组
dp = [[0]*(i+1) for i in range(n)]
dp[0][0] = arr[0][0]
# 动态规划填表
for i in range(1, n):
for j in range(i+1):
if j == 0:
# 只能来自上一层的左边
dp[i][j] = dp[i-1][j] + arr[i][j]
elif j == i:
# 只能来自上一层的右边
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + arr[i][j]
else:
# 可以来自上一层的左边或右边，取最大值
dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j]) + arr[i][j]
# 找到最后一层的最大值
max_val = max(dp[-1])
print(max_val)
if __name__ == "__main__":
main()2. 砝码称重：背包问题的变形
题目描述：给定砝码重量，求能称出的不同重量数（蓝桥杯2021省赛题）。
解题思路：
天平分左右两边，我们假设左边放砝码减重量，右边是增；同时每一个砝码只能使用一次；砝码总重量不超过100000。
所以我们可以假定砝码之和为能得到的最大重量，初始时天平的重量为0；我们可以通过：
0 + 1 代表右边放砝码1的情况
0 - 1 代表左边放砝码1的情况
-------------------------------
1 + 3 代表右边放砝码1 + 砝码3的情况
1 - 3 代表右边放砝码1,左边放砝码3的情况由于左右只差称出的重量是一致的，所以我们在出现负值时，可以用abd取绝对值转为正的，或者改为重的减轻的(3-1)来变换，代码如下：
代码片段：
def bg(num_list):
max_wight = sum(num_list)
bag = [False] * (max_wight + 1) # 0~砝码总重的重量
bag[0] = True # 称出初始为0
for w in num_list:
# 使用临时数组来避免重复更新
new_bag = bag[:]
for i in range(max_wight, -1, -1):
if bag[i]:
if i + w <= max_wight:
new_bag[i + w] = True
if i - w >= 0:
new_bag[i - w] = True
if w - i >=0:
new_bag[w - i] = True
# 更新原数组为新的状态
bag = new_bag
# print(bag)
# 计算所有可以表示的重量数量
count = 0
for i in range(max_wight + 1):
if bag[i]:
count += 1
return count - 1 # 排除0这个状态
n = int(input())
num_list = list(map(int, input().split()))
result = bg(num_list)
num_list.sort(reverse=True)
# print(num_list)
print(result)
# 6 0
# 10 2 4 6 0
# 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 0二、蓝桥杯高频算法考点
| 算法类型 | 常见题型 | 例题编号 |
|---|---|---|
| 贪心算法 | 区间调度、最小生成树 | 蓝桥杯2020省赛：合并果子 |
| DFS/BFS | 迷宫问题、连通块计数 | 蓝桥杯2019国赛：迷宫 |
| 并查集 | 动态连通性、朋友圈问题 | 蓝桥杯2021省赛：合根植物 |
| 前缀和 | 子矩阵和、差分数组应用 | 蓝桥杯2022省赛：统计子矩阵 |
| 二分查找 | 最大值最小化、有序数据查找 | 蓝桥杯2021国赛：分巧克力 |
三、蓝桥杯DP专项训练题
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入门必刷：
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数字三角形（经典DP）
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砝码称重（背包变形）
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跳跃（状态转移设计）
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进阶挑战：
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最大子阵和（二维前缀和+DP）
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乘积最大（高精度+区间DP）
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最少砝码（数学思维+DP）
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四、备考建议
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刷题策略：
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按算法分类集中突破（如连续3天专攻DP）
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每道题记录错题本，分析状态转移设计误区
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资源推荐：
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官方题解：蓝桥杯题库
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算法模板：代码随想录
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