二次型 → 矩阵的正定性 → 特征值

二次型 → 矩阵的正定性 → 特征值

二次型

定义 含有$n$个变量$x_1,x_2,\cdots ,x_n$的二次方程

$${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{x}+\alpha =0$$

其中，$\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^{\mathrm{T}}$，$\mathbf{A}=(a_{ij})$为$n\times n$对称矩阵，$\mathbf{B}$为$1\times n$矩阵，$\alpha$为常数。

称$n$元函数

$$f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=f(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}=\sum _{i=1}^n\left(\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j\right)x_i$$

为二次方程关联的$n$个变量的二次型，简称二次型。对称矩阵$\mathbf{A}$称作二次型$f(x)$的矩阵，矩阵$\mathbf{A}$的秩称为二次型$f(\mathbf{x})$的秩，二次型$f(\mathbf{x})$也称作对称矩阵$\mathbf{A}$的二次型。

定义 一个实对称矩阵$\mathbf{A}$称为

1. 正定的，若对${\mathbb{R}}^n$中所有非零$\mathbf{x}$，${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}>0$;
2. 负定的，若对${\mathbb{R}}^n$中所有非零$\mathbf{x}$，${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}<0$;
3. 半正定的，若对${\mathbb{R}}^n$中所有非零$\mathbf{x}$，${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}⩾0$;
4. 半负定的，若对${\mathbb{R}}^n$中所有非零$\mathbf{x}$，${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}⩽0$;
5. 不定的，若${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}$的取值有不同的符号。

作为一个性能指标，矩阵的二次型刻画矩阵的正定性。

特征值

很多应用问题都涉及将一个线性变换重复作用到一个向量上。求解这类问题的关键是找到一组新的基向量（特征向量），使得线性变换对该组基向量的作用仅是进行某种程度的收缩或拉伸，收缩或拉伸的倍数通常称为缩放因子（特征值）。

定义 令$\mathbf{A}$为$n\times n$矩阵，如果存在非零向量$\mathbf{x}$使得

$$\mathbf{A}\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$$

成立，则称数$\lambda$是矩阵$\mathbf{A}$的特征值，称非零向量$\mathbf{x}$为属于（或对应于）$\lambda$的特征向量。

矩阵的正定性与特征值

对称矩阵的特征值均为实数，且存在一个由其特征向量组成的正交基。

1. 正定矩阵：所有特征值取正实数的矩阵。
2. 半正定矩阵：各个特征值取非负实数的矩阵。
3. 负定矩阵：全部特征值为负实数的矩阵。
4. 半负定矩阵：每个特征值取非正实数的矩阵。
5. 不定矩阵：特征值有些取正实数，另一些取负实数的矩阵。

二次型与特征值

1. 正定矩阵：

   • 如果对于所有非零向量$\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n$，都有${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}>0$，则称矩阵$\mathbf{A}$是正定的。
   • 正定矩阵的所有特征值都是正数。

2. 负定矩阵：

   • 如果对于所有非零向量$\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n$，都有${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}<0$，则称矩阵$\mathbf{A}$是负定的。
   • 负定矩阵的所有特征值都是负数。

3. 半正定矩阵：

   • 如果对于所有非零向量$\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n$，都有${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}⩾0$，则称矩阵$\mathbf{A}$是半正定的。
   • 半正定矩阵的所有特征值都是非负的。

4. 半负定矩阵：

   • 如果对于所有非零向量$\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n$，都有${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}⩽0$，则称矩阵$\mathbf{A}$是半负定的。
   • 半负定矩阵的所有特征值都是非正的。

5. 不定矩阵：

   • 如果存在不同的非零向量$\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n$，使得${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}$的取值有正有负，则称矩阵$\mathbf{A}$是不定的。
   • 不定矩阵的特征值既有正的也有负的。