（分块）洛谷 P2801 教主的魔法 题解

之前学过 莫队 算法，其运用了分块思想；但是我居然是第一次写纯种的分块题目。

题意

给你一个长度为 $n$ 的序列 $a$（一开始 $\forall a_i\in [1,1000]$）。要求执行 $q$ 次操作，操作有两种，每次形如 $op,l,r,w/c$：

• $op$ 为 $\mathrm{M}$，将 $a_l,a_{l+1},\cdots ,a_r$ 分别加上 $w$；
• $op$ 为 $\mathrm{A}$，查询 $a_l,a_{l+1},\cdots ,a_r$ 中，有多少个数大于 $c$。

$n\le 10^6,q\le 3000,w\le 1000,c\le 10^9$

思路

主席树？是我早就不会打的。

如果我们把它变成一道分块练习题呢？

考虑对序列 $a$ 分块，对于每一块内，使用辅助数组 $b$ 以保证块内数有序。不妨设 $b{l}_t,b{r}_t$ 表示块 $t$ 的左右端点，$be{l}_i$ 表示下标 $i$ 所在的块的编号。

对于修改操作 $l,r,w$，如果 $\exists t,b{l}_t\le l<r\le b{r}_t$，即同一块，$t=be{l}_l=be{l}_r$，如果其不在左右端点上，那么块内的排序性质就会被破坏；反之如果它们不在同一块，说明它们中间跨过了若干块整块的区间，我们发现被跨过的区间仍然保持有序。

那么我们得到一个初步的修改方法：

• 设左右端点所在的块分别在 $lb=be{l}_l,rb=be{l}_r$，如果 $lb=rb$，就块内暴力加 $w$ 并快排更新；
• 否则即 $lb<rb$，我们发现块 $lb+1\sim rb-1$ 内仍然有序，那么不妨想线段树引入懒惰标记一样，我们搞一个加法标记，把整一块 $t$ 内所有元素同时加的数，用 $ta{g}_t$ 记录下来，等到查询时再处理；只强制更新更新 $l\sim b{r}_{lb}$ 和 $b{l}_{rb}\sim r$ 的数据和块 $lb,rb$。

这样子大大减少了排序的次数，每次修改操作顶多 $2\times {\log }_{2}n$，瓶颈在于快排。

void modify(ll t)//更新t块内数据
{
    for(int i=bl[t];i<=br[t];i++)
    b[i]=a[i];
    sort(b+bl[t],b+br[t]+1);
}
void add(ll ql,ll qr,ll x)//l,r,w
{
    ll lb=bel[ql],rb=bel[qr];//左右端所在块
    if(lb==rb)//同一块
    {
        for(int i=ql;i<=qr;i++)
        a[i]+=x;
        modify(lb);
        return;
    }
    //不同块
    for(int i=ql;i<=br[lb];i++)
    a[i]+=x;
    for(int i=bl[rb];i<=qr;i++)
    a[i]+=x;
    modify(lb);
    modify(rb);
    for(int i=lb+1;i<rb;i++)//lb+1~rb-1块打标记
    tag[i]+=x;
}

接下来就是查询，其实就和修改所运用的思想差不多了。同样讨论 $l,r$ 在或不在同一块的两种情况。如果同一块就直接 $ql\sim qr$ 扫过去（倒着枚举提前 break 凹时间也行、甚至乎二分，反正块上数组 $b$ 就是有序的），不同块就搜左右两边 $l\sim b{r}_{rb}$ 和 $b{l}_{rb}\sim r$（这里不能二分，因为原数组并非有序），至于中间的整块整块的，按块二分就好。

ll find(ll ql,ll qr,ll x)
{
	ll l=ql,r=qr;
	while(l<=r)
	{
		ll mid=(l+r)>>1;
		if(b[mid]<x)l=mid+1;
		else r=mid-1;
	}
	return qr-l+1;
}
ll query(ll ql,ll qr,ll x)
{
    ll ret=0,lb=bel[ql],rb=bel[qr];
    if(lb==rb)
    {
        ret+=find(ql,qr,x-tag[lb]);
        return ret;
    }
	for(int i=ql;i<=br[lb];i++)
	if(a[i]+tag[lb]>=x)ret++;
	for(int i=bl[rb];i<=qr;i++)
	if(a[i]+tag[rb]>=x)ret++;
    for(int i=lb+1;i<rb;i++)
    ret+=find(bl[i],br[i],x-tag[i]);
    return ret;
}

块长 $\sqrt{n}$，修改一次是块长+块内排序，查询是 块内二分 或 块长扫左右端+块数*块内二分，时间复杂度 $\Theta (m\sqrt{n}+m\sqrt{n}{\log }_2\sqrt{n})=\Theta (m\sqrt{n}{\log }_2\sqrt{n})$。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll N=1e6+9;
ll n,q,a[N];
ll tag[N];//加法标记
ll bSize,cnt_b,bel[N],bl[N],br[N],b[N];
void init()
{
    bSize=sqrt(n);
    cnt_b=n/bSize;
    if(n%bSize)cnt_b++;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        bel[i]=(i-1)/bSize+1;
        b[i]=a[i];
    }
    for(int i=1;i<=cnt_b;i++)
    {
        bl[i]=(i-1)*bSize+1;
        br[i]=i*bSize;
    }
    br[cnt_b]=n;
    for(int i=1;i<=cnt_b;i++)
    sort(b+bl[i],b+br[i]+1);
}
void modify(ll t)//更新t块内数据
{
    for(int i=bl[t];i<=br[t];i++)
    b[i]=a[i];
    sort(b+bl[t],b+br[t]+1);
}
void add(ll ql,ll qr,ll x)
{
    ll lb=bel[ql],rb=bel[qr];//左右端所在块
    if(lb==rb)//同一块
    {
        for(int i=ql;i<=qr;i++)
        a[i]+=x;
        modify(lb);
        return;
    }
    //不同块
    for(int i=ql;i<=br[lb];i++)
    a[i]+=x;
    for(int i=bl[rb];i<=qr;i++)
    a[i]+=x;
    modify(lb);
    modify(rb);
    for(int i=lb+1;i<rb;i++)//lb+1~rb-1块打标记
    tag[i]+=x;
}
ll find(ll ql,ll qr,ll x)
{
	ll l=ql,r=qr;
	while(l<=r)
	{
		ll mid=(l+r)>>1;
		if(b[mid]<x)l=mid+1;
		else r=mid-1;
	}
	return qr-l+1;
}
ll query(ll ql,ll qr,ll x)
{
    ll ret=0,lb=bel[ql],rb=bel[qr];
    if(lb==rb)
    {
        ret+=find(ql,qr,x-tag[lb]);
        return ret;
    }
	for(int i=ql;i<=br[lb];i++)
	if(a[i]+tag[lb]>=x)ret++;
	for(int i=bl[rb];i<=qr;i++)
	if(a[i]+tag[rb]>=x)ret++;
    for(int i=lb+1;i<rb;i++)
    ret+=find(bl[i],br[i],x-tag[i]);
    return ret;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    scanf("%lld",&a[i]);
    init();
    while(q--)
    {
        char op;
        ll l,r,x;
        cin>>op;
        scanf("%lld%lld%lld",&l,&r,&x);
        if(op=='M')add(l,r,x);
        else printf("%lld\n",query(l,r,x));
    }
    return 0;
}