代码随想录算法训练营第三十五天（20250303） |01背包问题 二维，01背包问题 一维，416. 分割等和子集 -[补卡20250316]

01背包问题 二维

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1. 遍历物品没有大小顺序要求
2. 重点是模拟，推导出递推公式

#include <iostream>
#include <vector>

int main(){
    int m, n;
    std::cin>>m>>n;
    std::vector<int> weight(m,0),value(m,0);
    for(int i{0}; i<m; i++){
        std::cin>>weight[i];
    }
    for(int i{0}; i<m; i++){
        std::cin>>value[i];
    }
    std::vector<std::vector<int>> dp(m, std::vector<int>(n+1, 0));
    for(int i{0}; i<=n; i++){
        dp[0][i] = i>=weight[0]?value[0]:0;
    }
    for(int i{1}; i<m; i++){
        for(int j{0}; j<=n; j++){
            if(weight[i]<=j){
                dp[i][j] = std::max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]);
            }else{
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
            }
        }
    }
    std::cout<<dp[m-1][n]<<std::endl;
    //
    return 0;
}

01背包问题 一维

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1. 01背包问题可以用一维数组处理，但是需要注意遍历背包的顺序，应该从大到小遍历，因为遍历判断是否应该放入当前物品时，需要比较当前物品放入后剩余空间的最大价值，此时如果当前背包容量大于当前物品空间的两倍，则正序遍历时会将其放入两次，例：dp[j] = max(dp[j], dp[j-weight[i]+value[i])，若当前背包容量为5，物品重量为2，物品价值特别大，则比较未放入当前物品时的价值与背包容量为3时的价值与当前物品价值的和，这里假如是从小到大遍历，则在判断容量为3时，因为当前物品价值特别大，已经放入，会与当前再次放入矛盾，导致错误，所以应该从大到小遍历，确保比较时当前物品没有被放入比较过

#include <iostream>
#include <vector>

int main(){
    int m, n;
    std::cin>>m>>n;
    std::vector<int> weight(m,0),value(m,0);
    for(int i{0}; i<m; i++){
        std::cin>>weight[i];
    }
    for(int i{0}; i<m; i++){
        std::cin>>value[i];
    }
    //
    std::vector<int> dp(n+1,0);
    for(int i{0}; i<m; i++){
        for(int j{n}; j>=weight[i]; j--){
            dp[j] = std::max(dp[j], dp[j-weight[i]]+value[i]);
        }
    }
    std::cout<<dp[n]<<std::endl;
    return 0;
}

416. 分割等和子集

1. 本质上也是01背包问题，相当于每个数字是一个物品，价值和体积都等于数字本身，有一个总和一半大小的背包，要求背包放入物品的价值总和尽量最大，最大是sum/2，如果能达到sum/2，说明可以划分为两个相同大小的子集

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        int sum{0};
        for(const auto& val:nums){
            sum += val;
        }
        if(sum%2!=0){
            return false;
        }
        //
        std::vector<int> dp(sum/2+1,0);
        for(int i{0}; i<nums.size(); i++){
            for(int j{sum/2}; j>=nums[i]; j--){
                dp[j] = std::max(dp[j], dp[j-nums[i]]+nums[i]);
            }
        }
        return dp[sum/2]==sum/2;
    }
};