【从零开始学习计算机科学】算法分析（四）图 与 最大流算法

图

在数学中，图是描述于一组对象的结构，其中某些对象对在某种意义上是“相关的”。这些对象对应于称为顶点的数学抽象（也称为节点或点），并且每个相关的顶点对都称为边（也称为链接或线）。通常，图形以图解形式描绘为顶点的一组点或环，并通过边的线或曲线连接。图形是离散数学的研究对象之一。

图主要有以下两种定义。

1，二元组的定义

图G是一个有序二元组(V，E)，其中V称为顶集(Vertices Set)，E称为边集(Edges set)，E与V不相交。它们亦可写成V(G)和E(G)。其中，顶集的元素被称为顶点(Vertex)，边集的元素被称为边(edge)。
E的元素都是二元组，用(x，y)表示，其中x，y $\in$ V。

2，三元组的定义

图G是指一个三元组(V，E，I)，其中V称为顶集，E称为边集，E与V不相交；I称为关联函数，I将E中的每一个元素映射到V $\times$ V。如果e被映射到(u，v)，那么称边e连接顶点u，v，而u，v则称作e的端点，u，v此时关于e相邻。同时，若两条边i，j有一个公共顶点u，则称i，j关于u相邻。

图可以分为有向图和无向图。如果给图的每条边规定一个方向，那么得到的图称为有向图。在有向图中，与一个节点相关联的边有出边和入边之分。相反，边没有方向的图称为无向图。

图的属性

阶（Order）：图G中点集V的大小称作图G的阶。

子图（Sub-Graph）：当图G’=(V’，E’)其中V‘包含于V，E’包含于E，则G’称作图G = (V，E)的子图。每个图都是本身的子图。

生成子图（Spanning Sub-Graph）：指满足条件V(G’) = V(G)的G的子图G’。

导出子图（Induced Subgraph）：以图G的顶点集V的非空子集$V_1$为顶点集，以两端点均在$V_1$中的全体边为边集的G的子图，称为$V_1$导出的导出子图；以图G的边集E的非空子集$E_1$为边集，以$E_1$中边关联的顶点的全体为顶点集的G的子图，称为$E_1$导出的导出子图。

度（Degree）：一个顶点的度是指与该顶点相关联的边的条数，顶点v的度记作d(v)。

入度（In-degree）和出度（Out-degree）：对于有向图来说，一个顶点的度可细分为入度和出度。一个顶点的入度是指与其关联的各边之中，以其为终点的边数；出度则是相对的概念，指以该顶点为起点的边数。

自环（Loop）：若一条边的两个顶点为同一顶点，则此边称作自环。

路径（Path）：从u到v的一条路径是指一个序列$v_0,e_1,v_1,e_2,v_2,\dots ,e_k,v_k$，其中$e_i$的顶点为$v_i$及$v_i-1$，k称作路径的长度。如果它的起止顶点相同，该路径是“闭”的，反之，则称为“开”的。一条路径称为一简单路径(simple path)，如果路径中除起始与终止顶点可以重合外，所有顶点两两不等。

行迹（Trace）：如果路径P(u，v)中的边各不相同，则该路径称为u到v的一条行迹。

轨道（Track）：如果路径P(u,v)中的顶点各不相同，则该路径称为u到v的一条轨道。闭的行迹称作回路（Circuit），闭的轨称作圈（Cycle）。
（另一种定义是：walk对应上述的path，path对应上述的track。Trail对应trace。）

桥（Bridge）：若去掉一条边，便会使得整个图不连通，该边称为桥。

图的存储

图可以使用邻接矩阵或邻接表存储。

邻接矩阵

具有n个顶点的有向图可以用一个n $\times$ n的方形矩阵表示。假设该矩阵的名称为M，则当$<v_i,v_j>$是该有向图中的一条弧时，M[i，j] = 1；否则M[i，j] = 0。第i个顶点的出度为矩阵中第i行中"1"的个数；入度为第i列中"1"的个数，并且有向图弧的条数等于矩阵中"1"的个数。

具有n个顶点的无向图也可以用一个n $\times$ n的方形矩阵表示。假设该矩阵的名称为M，则当（$v_i,v_j$）是该无向图中的一条边时，M[i，j] = M[j，i] = 1；否则，M[i，j] = M[j，j] = 0。第i个顶点的度为矩阵中第i 行中"1"的个数或第i列中"1"的个数。图中边的数目等于矩阵中"1"的个数的一半，这是因为每条边在矩阵中描述了两次。当边存在权重时，M[i，j]存储边$<v_i,v_j$