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Dijkstra解决单源最短路径

news 来源：原创 2025/5/20 23:20:49

题目链接：

9.蓝桥王国 - 蓝桥云课https://www.lanqiao.cn/problems/1122/learning/?problem_list_id=30&page=1

题目描述：

小明是蓝桥王国的王子，今天是他登基之日。在即将成为国王之前，老国王给他出了道题，他想要考验小明是否有能力管理国家。

题目的内容如下：

蓝桥王国一共有 N 个建筑和 M 条单向道路，每条道路都连接着两个建筑，每个建筑都有自己编号，分别为 1∼N （其中皇宫的编号为 1）。国王想让小明回答从皇宫到每个建筑的最短路径是多少，但紧张的小明此时已经无法思考，请你编写程序帮助小明回答国王的考核。

输入描述：

输入第一行包含三个正整数 N,M。第 2 到 M+1 行每行包含三个正整数 u,v,w，表示 u→v之间存在一条距离为 w 的路。1≤N≤3×10^5，1≤m≤10^6，1≤ui,vi≤N，0≤wi≤10^9。

输出描述：

输出仅一行，共 N 个数，分别表示从皇宫到编号为 1∼N 建筑的最短距离，两两之间用空格隔开。（如果无法到达则输出 −1）

输入：

输出：

0 1 3

解题思路：

Dijkstra：先设置一个邻接二维数组（如果太大就设置为邻接表），邻接表定义如下：

typedef pair<int,long long> PLI;   //定义节点类型
//创建邻接表
vector<vector<PLI>> adj(N + 1);
for (int i = 0;i < M;i++)
{
	int u, v, w;
	cin >> u >> v >> w;
	adj[u].push_back({ v, w });
}

其创建了一个vector容器，每个vector容器包含一个类型变量为PLI的vector容器，外层容器定义为起点为i，内层容器（j,k）为终点为j，i和j的距离为k的节点，再定义一个小根堆队列，定义如下：

#include<queue>
//定义一个优先队列，最顶上为最小值
priority_queue<PLI, vector<PLI>, greater<PLI>> pq;

当选中距离源点最近的点v后，将点v的邻接边都进行判断，如果（源-v的距离+v-新节点的距离）<（源点-新节点的距离），则将新节点在dist上存储的距离更新，并将新的PLI加入到pq队列中，其代码如下：

while (!pq.empty()) 
{
	int ed = pq.top().first;    //终点
	long long d = pq.top().second;     //距离
	pq.pop();    //退出dist中最小的节点

	//更新ed节点的邻接节点
	for(int i=0;i<adj[ed].size();i++)
	{
		if ((dist[ed] + adj[ed][i].second) < dist[adj[ed][i].first])   //起点到ed的距离+ed到v的距离<原本dist[v]的距离
		{
			dist[adj[ed][i].first] = dist[ed] + adj[ed][i].second;   //更新dist
			pq.push({ adj[ed][i].first ,dist[adj[ed][i].first] });
		}
	}
}

最终就可以得到完整的Dijkstra代码。

代码：

1、Dijkstra代码

//Dijkstra
void Dijkstra(vector<vector<PLI>> adj)
{
	//初始化dist数组
	dist[1] = 0;

	//定义一个优先队列，最顶上为最小值
	priority_queue<PLI, vector<PLI>, greater<PLI>> pq;
	pq.push({ 1,0 });   //将起点距离设置为0
	while (!pq.empty()) 
	{
		int ed = pq.top().first;    //终点
		long long d = pq.top().second;     //距离
		pq.pop();    //退出dist中最小的节点

		//更新ed节点的邻接节点
		for(int i=0;i<adj[ed].size();i++)
		{
			if ((dist[ed] + adj[ed][i].second) < dist[adj[ed][i].first])   //起点到ed的距离+ed到v的距离<原本dist[v]的距离
			{
				dist[adj[ed][i].first] = dist[ed] + adj[ed][i].second;   //更新dist
				pq.push({ adj[ed][i].first ,dist[adj[ed][i].first] });
			}
		}
	}
}

2、完整代码

#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
#include <climits>
#define MAX LLONG_MAX
using namespace std;
typedef pair<int,long long> PLI;   //定义节点类型
vector<long long> dist(300010, MAX);    //起点距离其余个点的距离

//Dijkstra
void Dijkstra(vector<vector<PLI>> adj)
{
	//初始化dist数组
	dist[1] = 0;

	//定义一个优先队列，最顶上为最小值
	priority_queue<PLI, vector<PLI>, greater<PLI>> pq;
	pq.push({ 1,0 });   //将起点距离设置为0
	while (!pq.empty()) 
	{
		int ed = pq.top().first;    //终点
		long long d = pq.top().second;     //距离
		pq.pop();    //退出dist中最小的节点

		//更新ed节点的邻接节点
		for(int i=0;i<adj[ed].size();i++)
		{
			if ((dist[ed] + adj[ed][i].second) < dist[adj[ed][i].first])   //起点到ed的距离+ed到v的距离<原本dist[v]的距离
			{
				dist[adj[ed][i].first] = dist[ed] + adj[ed][i].second;   //更新dist
				pq.push({ adj[ed][i].first ,dist[adj[ed][i].first] });
			}
		}
	}
}

int main()
{
	// 请在此输入您的代码
	//输入
	int N, M;
	cin >> N >> M;

	//创建邻接表
	vector<vector<PLI>> adj(N + 1);
	for (int i = 0;i < M;i++)
	{
		int u, v, w;
		cin >> u >> v >> w;
		adj[u].push_back({ v, w });
	}

	//更新dist数组
	Dijkstra(adj);

	//输出
	for (int i = 1;i <= N;i++)
	{
		i != N ? (dist[i] != MAX ? cout << dist[i] << " " : cout << "-1" << " ") : (dist[i] != MAX ? cout << dist[i] << endl : cout << "-1" << endl);
	}
	return 0;
}