全概公式和贝叶斯公式

条件概率的概念

引例　如果同时掷两枚质地均匀的硬币，共有四种可能的情况，于是我们可得

Ω={（正，正）​，​（正，反）​，​（反，正）​，​（反，反）}

设A=“两个都是正面向上”​，B=“至少有一个正面向上”​，则由古典定义有

从上例可知，条件概率P（A｜B）实质就是缩减了基本空间，把原有的基本空间Ω缩减为ΩB，在Ω中计算事件A的概率就是P（A）​，而在ΩB中计算事件A的概率就是P（A｜B）.我喜欢读作A基于B。

假如我们每次都用基本空间的缩减来计算条件概率，那就太麻烦了，某些场合下甚至是不可能的.为此我们在原概率空间Ω中给出条件概率的一般定义方式.

首先我们还是从古典概型入手来分析我们应该怎样定义条件概率.设Ω的基本事件总数为n，事件A、B与AB中的基本事件个数为nA，nB和nAB，则P（A｜B）可用B已经发生的条件下A发生的相对比例来表达，即P（A｜B）=nAB/nB，而

所以

在几何概型中（以平面区域情形为例）​，对于在平面区域S内等可能投点（见图1-4-1）​，若已知A发生，则B发生的概率为

图1-4-1

因为条件概率是概率，故条件概率也具有下列性质：

设A是一事件，且P（A）>0，则

①对任一事件B，0≤P（B｜A）≤1；
②P（Ω｜A）=1；
③设A1，A2，…，An互不相容，则P（A1∪A2∪…∪An｜A）=P（A1｜A）+…+P（An｜A）.此外，概率的性质都适用于条件概率.

乘法公式

由条件概率的定义可得：

P（AB）=P（B）P（A｜B）　　［P（B）≠0］或
　P（AB）=P（A）P（B｜A）　　［P（A）≠0］

即两个事件乘积的概率等于其中一个事件的概率乘以该事件发生的条件下另一个事件发生的条件概率，称上式为概率的乘法公式.乘法公式可推广到有限多个事件，如：

P（A1A2A3）=P（A1）P（A2｜A1）P（A3｜A1A2）P（A1A2…An）=P（A1）P（A2｜A1）…P（An｜A1A2…An-1）​，［P（An｜A1A2…An-1）>0］

全概公式与贝叶斯公式

在概率的计算中，要计算一个复杂的随机事件的概率，经常把该事件分解成若干互不相容的简单事件的并事件，然后利用加法公式和乘法公式分别计算这些简单事件的概率.这里全概率公式起着很重要的作用.

设随机试验的基本空间为Ω，其中A1，A2，…，An满足：

①A1∪A2∪…∪An=Ω；

②A1，A2，…，An两两互不相容，即AiAj=Ø（i≠j）​，则称A1，A2，…，An组成Ω的一个分割（或称A1，A2，…，An是Ω的一个完备事件组）.

定理1　设随机试验的基本空间为Ω，事件组A1，A2，…，An构成Ω的一个完备事件组，且P（Ai）>0，则对任意事件B，有

证明：

使用全概公式计算概率的关键是要找到基本空间的一个合适的分割A1，A2，…，An，这里“合适”的含义是指P（Ai）及P（B｜Ai）易于计算.从以上例子可以看出，如果要计算事件B的概率，则应考虑把所能引起B发生的各种条件（或原因）作为基本空间的一个分割.用全概公式计算概率可概括为由因导果.

贝叶斯公式

利用全概公式可通过综合分析一事件发生的不同原因或情况及其可能性求得该事件发生的概率.下面给出的贝叶斯公式则考虑与之完全相反的问题，即一事件已经发生，要考察引发该事件发生的各种原因或情况的可能性大小.

这一类问题是“已知结果求原因”在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小.接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式.

定理2　设A1，A2，…，An是一完备事件组，则对任一事件B，P（B）>0，有：

全概公式和贝叶斯公式的对比：
1.都需要找到完备事件组。
2.全概公式由因导果
3.贝叶斯公式由果导因
4.贝叶斯公式运用到全概公式
5.所谓的因和果的概念是人为加上去的。按照习惯而言，我们偏向于把完备组看作因，而把独立的一个事件看作果。