Diffie-Hellman协议简单介绍

1. 介绍

Diffie-Hellman协议是一种公钥协议，用于对称密钥的分发问题。

2. 数学背景介绍

2.1 幂模运算

就是一个数的多少次幂对另一个数取模
$$c=b^e\mathrm{mod}m$$
$c$就叫作$b$的$e$次方对整数$m$的模。

公钥体系一般都基于计算简单的单向性；

什么意思呢？ 就是如果你知道$b$和$e$求$c$是容易的，而如果你知道$b$和$c$反过来求$e$则是很困难的。

因此我们就可以利用这个特性来实现公钥体系。

2.2 幂模的结合律

$$(c^b\mathrm{mod}p{)}^a\equiv c^{a^b}\equiv c^{b^a}\equiv (c^a\mathrm{mod}p{)}^b(\mathrm{mod}p)$$

3. DHKE协议过程

• 协商大素数$P$和原根$G$
• 客户端生成私钥$a$和公钥$A$
  • $A=G^a\mathrm{mod}p$
• 服务端生成私钥$b$和公钥$B$
  • $B=G^b\mathrm{mod}p$
• 客户端发送自己的公钥$A$
• 服务端发送自己的公钥$B$
• 客户端根据自己私钥$a$和服务端公钥$B$计算共享密钥
  $S1=B^a\mathrm{mod}P$
• 服务端根据自己私钥$b$和客户端公钥$A$计算共享密钥
  $S2=A^b\mathrm{mod}P$

根据上面的幂模性质，我们可以知道$S1=S=S2$,由此共享密钥也被计算出来。

4. 中间人攻击

公钥体系并不能完全保证安全，因为可能存在一个中间人截获了大素数$P$和原根$G$,
再分发两把公钥，和两个人分别建立通信。

原文

zhihu-yizhen

UPD

证明幂模性质待补充