蓝桥每日打卡--背包问题

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题目描述

有一个背包，它的容量为 W = 4。有 3 个物品，它们的重量分别为 [2, 1, 3]，价值分别为 [4, 2, 3]。问在不超过背包容量的情况下，能装入背包的物品的最大价值是多少？

解题思路

动态规划的核心在于将大问题分解为小问题，并保存小问题的解以避免重复计算。对于背包问题，我们定义一个二维数组 dp[i][w] 表示前 i 个物品放入容量为 w 的背包中所能获得的最大价值。状态转移方程为：

• 当 w < weights[i-1] 时，dp[i][w] = dp[i-1][w]，即当前物品重量超过背包容量，不能放入，最大价值不变。
• 当 w >= weights[i-1] 时，dp[i][w] = max(dp[i-1][w], dp[i-1][w - weights[i-1]] + values[i-1])，即可以选择放入或不放入当前物品，取两者中的最大值。

代码实现

def knapsack(weights, values, W):
    n = len(weights)
    # 创建二维数组 dp
    dp = [[0 for _ in range(W + 1)] for _ in range(n + 1)]

    # 填充 dp 数组
    for i in range(1, n + 1):
        for w in range(1, W + 1):
            if w < weights[i - 1]:
                dp[i][w] = dp[i - 1][w]
            else:
                dp[i][w] = max(dp[i - 1][w], dp[i - 1][w - weights[i - 1]] + values[i - 1])

    return dp[n][W]