概率论与数理统计
概率论部分
1. 随机事件与概率
样本空间与随机事件： 样本空间是随机试验所有可能结果的集合，通常用Ω表示。随机事件是样本空间的子集，表示随机试验的某些可能结果的集合。
概率的公理化定义： 概率是定义在事件集合上的函数P，满足三条公理：①非负性：P(A)≥0；②规范性：P(Ω)=1；③可列可加性：若事件A₁,A₂,...互不相容，则P(A₁∪A₂∪...)=P(A₁)+P(A₂)+...
条件概率与全概率公式： 条件概率P(A|B)表示在事件B已发生的条件下，事件A发生的概率。全概率公式用于计算复杂事件的概率，通过将事件分解为多个互斥情况来计算。
贝叶斯公式： 用于计算"逆向"条件概率，即已知结果求原因的概率。公式为：P(B|A)=[P(A|B)×P(B)]/P(A)，常用于推断和决策问题。
事件的独立性： 如果P(AB)=P(A)×P(B)，则称事件A和B相互独立，即一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率。
2. 随机变量及其分布
离散型随机变量： 只能取有限个或可数无限个值的随机变量。其分布律给出了随机变量取各个可能值的概率。
连续型随机变量： 可以在某个区间内取任意值的随机变量。其概率密度函数f(x)满足f(x)≥0且积分为1，用于计算随机变量落在某区间的概率。
分布函数： F(x)=P(X≤x)，描述随机变量X不超过x的概率，是一个右连续、单调不减且极限为0和1的函数。
常见分布：
- 二项分布B(n,p)：n次独立重复试验中成功k次的概率
- 泊松分布P(λ)：单位时间内随机事件发生次数的分布
- 均匀分布U(a,b)：落在区间[a,b]内任意点概率密度相同
- 指数分布：描述事件之间的等待时间
- 正态分布N(μ,σ²)：描述自然界中大量随机现象
3. 多维随机变量
联合分布与边缘分布： 联合分布描述多个随机变量的概率行为，边缘分布是从联合分布中导出的单个随机变量的分布。
条件分布： 在一个随机变量取特定值的条件下，另一随机变量的概率分布。
随机变量的独立性： 若随机变量X和Y的联合分布函数等于各自边缘分布函数的乘积，则称X和Y独立。
多维正态分布： 多个正态随机变量的联合分布，完全由均值向量和协方差矩阵确定。
4. 随机变量的数字特征
期望与方差： 期望E(X)表示随机变量的平均值或"重心"；方差Var(X)=E[(X-E(X))²]衡量随机变量的离散程度。
协方差与相关系数： 协方差Cov(X,Y)度量两个随机变量的线性相关性；相关系数ρ将协方差标准化到[-1,1]区间，描述线性相关强度。
矩、协方差矩阵： 矩是随机变量的幂的期望；协方差矩阵包含多个随机变量之间的协方差信息。
切比雪夫不等式： 提供了随机变量偏离其期望的概率上界：P(|X-E(X)|≥ε)≤Var(X)/ε²，是大数定律的基础。
5. 大数定律与中心极限定理
大数定律： 样本均值随样本量增大会收敛到总体均值，说明大量重复试验的平均结果趋于稳定。
中心极限定理： 大量独立同分布随机变量之和经适当标准化后近似服从正态分布，解释了正态分布在自然界中广泛存在的原因。
数理统计部分
1. 样本与抽样分布
总体与样本： 总体是研究对象的全体，样本是从总体中抽取的部分个体。
统计量与抽样分布： 统计量是样本的函数，用于估计总体参数；抽样分布描述统计量的概率分布。
χ²分布、t分布、F分布： 这些是重要的抽样分布，分别用于方差检验、小样本均值检验和方差比检验。
2. 参数估计
点估计： 用样本统计量估计总体未知参数的具体值。常用方法包括：
- 矩估计：用样本矩代替相应的总体矩
- 最大似然估计：选取使样本出现概率最大的参数值
估计量的评价标准：
- 无偏性：估计量的期望等于被估参数
- 有效性：在无偏估计中方差最小
- 一致性：随样本量增大，估计量收敛到真值
区间估计： 构造一个区间，使未知参数以给定的置信度（如95%）落入此区间。
3. 假设检验
显著性检验基本思想： 通过样本数据判断关于总体的假设是否成立，使用p值或临界值法做决策。
各类检验：
- 均值检验：检验总体均值是否等于某个值或两总体均值是否相等
- 方差检验：检验总体方差是否等于某个值或两总体方差是否相等
- 分布拟合检验：检验样本是否来自某特定分布
- 独立性检验：检验两个变量是否相互独立
4. 方差分析与回归分析
单因素方差分析： 比较多个总体均值是否相等，将总变异分解为组内变异和组间变异。
线性回归： 研究一个因变量与一个或多个自变量之间的线性关系，建立预测模型。
最小二乘法： 寻找使残差平方和最小的回归系数，是回归分析的核心方法。
多元线性回归： 研究一个因变量与多个自变量之间的线性关系，考虑多因素共同影响。
这些内容共同构成了概率论与数理统计的基础理论体系，为学生理解随机现象和进行数据分析提供了重要工具。不同专业可能会根据需要强调不同部分，如工程专业可能侧重应用，而数学专业则更注重理论证明。