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有序二维矩阵中的目标值查找

1. 题目描述

给定一个元素为非负整数的二维数组matrix，其中：

• 每一行按照从左到右递增的顺序排列
• 每一列按照从上到下递增的顺序排列

再给定一个非负整数aim，请判断aim是否存在于matrix中。

示例：

int[][] matrix = {{1, 4, 7, 11},{2, 5, 8, 12},{3, 6, 9, 16},{10, 13, 14, 17}
};
int aim = 5; // 返回true
int aim = 15; // 返回false

2. 问题解释

• 矩阵行列均有序，但不像完全排序的一维数组那样可以直接二分
• 需要利用行列有序的特性设计高效查找算法
• 暴力搜索时间复杂度为O(m*n)，不够高效
• 目标是设计优于O(m*n)的算法

3. 解决思路

方法一：逐行二分查找（适合行数较少的情况）

• 对每一行进行二分查找
• 时间复杂度：O(m log n)，m为行数，n为列数

方法二：利用行列有序特性（最优解）

1. 从矩阵的右上角开始查找（或左下角）
2. 比较当前元素与目标值：
   • 如果等于目标值，返回true
   • 如果大于目标值，排除当前列（向左移动）
   • 如果小于目标值，排除当前行（向下移动）
3. 时间复杂度：O(m + n)

4. 代码实现

public class SearchInSortedMatrix {// 方法一：逐行二分查找public boolean searchMatrixByRowBinarySearch(int[][] matrix, int target) {if (matrix == null || matrix.length == 0 || matrix[0].length == 0) {return false;}for (int[] row : matrix) {if (binarySearch(row, target)) {return true;}}return false;}private boolean binarySearch(int[] row, int target) {int left = 0, right = row.length - 1;while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;if (row[mid] == target) {return true;} else if (row[mid] < target) {left = mid + 1;} else {right = mid - 1;}}return false;}// 方法二：利用行列有序特性（最优解）public boolean searchMatrix(int[][] matrix, int target) {if (matrix == null || matrix.length == 0 || matrix[0].length == 0) {return false;}int row = 0;int col = matrix[0].length - 1; // 从右上角开始while (row < matrix.length && col >= 0) {if (matrix[row][col] == target) {return true;} else if (matrix[row][col] > target) {col--; // 排除当前列} else {row++; // 排除当前行}}return false;}public static void main(String[] args) {SearchInSortedMatrix solution = new SearchInSortedMatrix();int[][] matrix = {{1, 4, 7, 11},{2, 5, 8, 12},{3, 6, 9, 16},{10, 13, 14, 17}};System.out.println(solution.searchMatrix(matrix, 5)); // trueSystem.out.println(solution.searchMatrix(matrix, 15)); // falseSystem.out.println(solution.searchMatrixByRowBinarySearch(matrix, 9)); // trueSystem.out.println(solution.searchMatrixByRowBinarySearch(matrix, 20)); // false}
}

5. 总结

1. 方法选择：

   • 当行数远小于列数时，方法一（逐行二分）可能更优
   • 一般情况下，方法二（行列排除法）是最优解

2. 复杂度分析：

   • 方法一：O(m log n)
   • 方法二：O(m + n)

3. 关键点：

   • 利用矩阵行列有序的特性
   • 选择合适的起点（右上角或左下角）
   • 每次比较都能排除一行或一列

4. 扩展思考：

   • 如果矩阵是完全排序的（即展平后有序），可以直接使用一维二分查找
   • 如果矩阵中存在重复元素，算法依然适用

5. 实际应用：

   • 数据库索引查找
   • 图像处理中的像素查找
   • 游戏地图中的坐标查找