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数据结构：有序表的合并

news 来源：原创 2025/5/22 4:44:13

前文介绍了《有序表的插入》，本文介绍有序表的合并。这两种对有序表的操作，是数据结构中常考的内容，特别是在 408 考卷中，在算法设计的题目中，有可能会考查对有序表的操作。那么，这两篇文章中的方法就是能够拿到基本分数的方法。

例题 3.10.3 假设有两个非递减有序表 LA 和 LB，设计一个算法，将它们合并成一个非递减有序表 LC（假设每个有序表中和两个有序表间均不存在重复元素）。

【解】

采用二路归并算法将两个有序表合并成一个有序表，其过程是：创建空表 LC，且长度是 LA 和 LB 长度之和。分别扫描 LA 和 LB 两个有序表：

当两个有序表都没有扫描完成时，循环执行：比较 LA 和 LB 的当前元素，将其中较小的元素插入到 LC 中，再从较小元素所在的有序表中取下一个元素。
重复此过程，直到 LA 或 LB 比较完毕，最后将未比较的有序表中余下的元素插入到 LC 中。

举例：LA = (1, 3, 5), LB = (2, 4, 8, 10) ，按照上述算法，过程如图 3.10.1 所示。

在这里插入图片描述

图 3.10.1 合并有序表

（1）采用顺序表存放有序表

【算法描述】

//顺序表存储结构
typedef struct{
    ElemType *elem;    //存储空间的基地址
    int length;        //当前长度
}SqList;               //顺序表的结构类型为 SqList

void MergeList(SqList LA, SqList LB, SqList &LC){
    //i,j 是 LA,LB 的下标，k 是 LC 中的元素个数 
    int i = 0, j = 0, k = 0; 
    LC = （SqList *)malloc(sizeof(SqList));
    
    //LA 和 LB 均未到达表尾
    while(i < LA.length && j < LB.length){
        if (LA.elem[i] < LB.elem[j]){
            LC.elem[k] = LA.elem[i];
            i++;
            k++;
        } else {
            LC.elem[k] = LB.elem[j];
            j++;
            k++;
        }
    }
    //LA尚未扫描完毕，将其余元素插入 LC 中
    while(i < LA.length){
        LC.elem[k] = LA.elem[i];
        i++;
        k++;
    }
    //LB尚未扫描完毕，将其余元素插入 LC 中
    while(j < LB.length){
        LC.elem[k] = LB.elem[j];
        j++;
        k++;
    }
    
    LC.length = k; 
}

上述写法比较容易理解，但写法不紧凑，可以对上述写法进行改进。

void MergeList(SqList LA, SqList LB, SqList &LC){
    LC.length = LA.length + LB.length; //新表的长度
    LC.elem = new ElemType[LC.length]; //为新表分配数组空间
    
    pc = LC.elem; //指针 pc 指向新表的第一个元素
    pa = LA.elem;
    pb = LB.elem;
    
    //指针 pa_last 指向 LA 的最后一个元素
    pa_last = LA.elem + LA.length - 1; 
    pb_last = LB.elem + LB.length - 1;
    
    //LA, LB 均未达到表尾
    while((pa <= pa_last) && pb <= pb_last){
        if(*pa <= *pb)
            *pc++ = *pa++;
        else
            *pc++ = *pb++;
    }
    //LB已到表尾，依次将 LA 剩余元素插入 LC 的最后
    while(pa <= pa_last) *pc++ = *pa++;
    //LA已到表尾，依次将 LB 剩余元素插入 LC 的最后
    while(pb <= pb_last) *pc++ = *pb++;
}

【算法分析】

假设 LA 和 LB 的长度分别为 $m$ 和 $n$ ，元素比较次数：

最好情况下的比较次数是 $\min(m,n)$ 。时间复杂度是 $O(\min(m,n))$
最坏情况下的比较次数是 $m + n - 1$ 。时间复杂度是 $O (m + n)$

空间复杂度为 $O (m + n)$ 。

（2）采用单链表存放有序表

假设头指针为 LA 和 LB 的单链表分别为线性表 LA 和 LB 的存储结构，现要归并 LA 和 LB 得到单链表 LC。因为链表结点之间的关系是通过指针指向建立起来的，所以用链表进行合并不需要另外开辟存储空间，可以直接利用原来两个表的存储空间，合并过程中只需把 LA 和 LB 两个表中的结点重新进行链接即可。

按照二路归并的思想，需设立 3 个指针 pa、pb 和 pc：

pa 和 pb 分别指向 LA 和LB 中当前待比较插入的结点， pc 指向 LC 中当前最后一个结点（LC 的表头结点设为 LA 的表头结点）。
指针的初值：pa 和 pb 分别指向 LA 和 LB 表中的第一个结点，pc 指向空表 LC 中的头结点。通过比较指针 pa 和 pb 所指向的元素的值，依次从 LA 或 LB 中“摘取”元素值较小的结点插入到 LC 的最后，当其中一个表变空时，只要将另一个表的剩余段链接在 pc 所指结点之后即可。

【算法描述】

//单链表存储结构
typedef struct LNode{
    ElemType data;  //结点的数据域
    struct LNode * next; //结点的指针域
}LNode, *LinkList;  //LinkList 为指向结构体 LNode 的指针类型

void MergeList(LinkList &LA, LinkList &LB, LinkList &LC){
    //LA, LB 是带头结点的单链表
    pa = LA->next;
    pb = LA->next;
    LC = LA; //用 LA 的头结点作为 LC 的头结点
    pc = LC; //pc 的初始值指向 LC 的头结点
    
    // LA, LB 均未到达表尾，依次“摘取”其中较小的结点插入到 LC 最后
    while(pa && pb){
        if(pa->data < pb->data){
            pc->next = pa; //将 pa 所指结点作为到 pc 所指结点的后继
            pc = pa; //pc 指向 pa，即为 LC 的尾结点指针
            pa = pa->next; //pa 指向下一个结点
        } else {
            pc->next = pb;
            pc = pb;
            pb = pb->next;
        }
    }
    pc->next = pa ? pa: pb; //将非空表的剩余段插入到 pc 所指结点之后
    delete LB;  //释放 LB 的头结点
}