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核心概念

异常收益率 指的是某只资产（如股票）在特定时期内的实际收益率与该资产在正常市场条件下的预期收益率之间的差额。

简单公式为：
异常收益率 = 实际观测到的收益率 - 预期正常收益率

这个差额反映了未被市场普遍波动所解释的收益部分，通常由特定事件（如公司财报发布、并购公告、政策变动等）或投资者的超额技能所驱动。

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计算步骤详解

计算异常收益率通常分为三个步骤：

第一步：计算实际收益率

首先，需要计算在事件窗口期内每一天（或每一个周期）的实际收益率。最常用的方法是计算对数收益率，因为它具有更好的统计性质（如对称性和可加性）。

• 简单收益率： R_t = (P_t - P_{t-1}) / P_{t-1}
• 对数收益率： R_t = ln(P_t / P_{t-1})
  • R_t 是第 t 天的收益率
  • P_t 是第 t 天的收盘价
  • P_{t-1} 是第 t-1 天的收盘价

在学术和实务中，对数收益率更为常用。

第二步：估算预期正常收益率

这是最关键的一步。预期正常收益率是指在没有发生特定事件的情况下，该资产理论上应该获得的收益率。估算方法主要有以下几种：

1. 市场模型
   这是最常用和公认的方法。它假设单个资产的收益率与市场整体收益率（如沪深300指数、标普500指数）存在线性关系。

   • 模型公式： E(R_i,t) = α_i + β_i * R_m,t
   • E(R_i,t) 是股票 i 在第 t 天的预期收益率。
   • R_m,t 是第 t 天的市场收益率（同样用对数收益率计算）。
   • α_i 和 β_i 是需要估计的参数。
   • 如何估计参数？
     选择一个估计窗口（通常是在事件发生前的一段时间，例如事件前120天到前30天），使用该窗口内的股票收益率和市场收益率数据进行线性回归，拟合出 α_i (截距) 和 β_i (斜率，即贝塔系数)。

2. 常数均值模型
   这是一种简化模型，它假设资产的预期收益率是一个常数，等于其在估计窗口期内的平均收益率。

   • 模型公式： E(R_i,t) = μ_i
   • μ_i 是股票 i 在估计窗口期内收益率的平均值。
   • 这种方法比较简单，但不如市场模型精确。

3. 资本资产定价模型

   • 模型公式： E(R_i,t) = R_f,t + β_i * [E(R_m,t) - R_f,t]
   • R_f,t 是无风险利率（如国债利率）。
   • 这种方法在理论上是完备的，但实际操作中由于需要估计市场风险溢价 [E(R_m,t) - R_f,t]，且效果并不总是优于市场模型，因此使用频率低于市场模型。

4. 多因子模型
   在更加复杂的分析中，会引入除市场因子以外的其他因子（如规模因子、价值因子、动量因子等，即Fama-French三因子或五因子模型）来更精确地估算预期收益。这在学术研究中很常见。

第三步：计算异常收益率

一旦从第二步得到了预期收益率 E(R_i,t)，就可以用第一步得到的实际收益率 R_i,t 减去它，得到每一天的异常收益率。

• 每日异常收益率： AR_i,t = R_i,t - E(R_i,t)

第四步（可选）：累计与平均

在实际分析中，我们通常不仅关心单日的异常收益，更关心整个事件窗口期（例如公告日前一天到后一天，共3天）内的总体影响。

• 累计异常收益率：将事件窗口期内每天的异常收益率相加。
  CAR_i = AR_i,t1 + AR_i,t2 + ... + AR_i,tk
  （t1 到 tk 是事件窗口期的每一天）

• 平均异常收益率：如果你研究的是多个公司（N个）的同一个事件，可以计算所有公司在同一天的平均异常收益率，以消除个别公司的噪音。
  AAR_t = (AR_1,t + AR_2,t + ... + AR_N,t) / N

• 累计平均异常收益率：将平均异常收益率在时间上累计。
  CAAR = AAR_t1 + AAR_t2 + ... + AAR_tk

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举例说明（使用市场模型）

事件：公司A在 2023年10月10日发布了超预期的财报。

1. 定义窗口期：

   • 估计窗口： 2023年3月1日 至 2023年8月31日（约120个交易日）。
   • 事件窗口： 我们关心发布前后两天的表现，即 10月9日，10月10日，10月11日。

2. 计算实际收益率：

   • 计算公司A股票和 market index（如沪深300）在估计窗口和事件窗口内每一天的对数收益率。

3. 估算预期收益：

   • 使用估计窗口（3月1日至8月31日）的数据，将公司A的日收益率 (R_i) 对市场指数日收益率 (R_m) 进行回归。
   • 假设回归结果是： E(R_i) = 0.001 + 1.2 * R_m
     （即 α = 0.001, β = 1.2）

4. 计算异常收益：

   • 在事件窗口的每一天，将当天的实际市场收益率 R_m,t 代入上面的回归模型，计算出公司A当天的预期收益率。
   • 例如，10月10日（公告日）：
     • 市场实际收益率 R_m = 0.5%
     • 公司A实际收益率 R_i = 4.0%
     • 预期收益率 E(R_i) = 0.001 + 1.2 * 0.005 = 0.001 + 0.006 = 0.7%
     • 异常收益率 AR = 4.0% - 0.7% = 3.3%
     • 这个3.3%就是由财报公告这个事件带来的、超出市场波动的超额收益。

5. 累计异常收益：

   • 用同样的方法计算出10月9日和10月11日的异常收益率，假设分别为 0.5% 和 -0.2%。
   • 那么整个3天事件窗口的累计异常收益率为： CAR = 0.5% + 3.3% + (-0.2%) = 3.6%。

重要注意事项

• 窗口期选择：估计窗口和事件窗口不能有重叠，否则会引入“look-ahead bias”（前视偏差），导致预期收益率估计不准确。
• 模型选择：对于大多数情况，市场模型已经足够优秀且稳健。常数均值模型过于简单，CAPM和多因子模型则可能引入新的估计误差。
• 统计显著性：计算出异常收益率后，通常需要进行统计检验（如t检验），以判断异常收益率是否显著地不等于零，确保结果不是由随机波动造成的。
• 数据频率：虽然以上以“日”数据为例，但同样适用于周数据、月数据等更高或更低频率的分析。