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news 2025/11/16 2:56:55

昆明制作网站的公司哪家好,青岛百度推广多少钱,企业解决方案英文,南宁电子商务网站建设提示：100道LeetCode热题-16主要是多维动态规划相关，包括五题：不同路径、最小路径和、最长回文子串、最长公共子序列、编辑距离。由于初学，所以我的代码部分仅供参考。前言之前做过动态规划，这里扩展到多维情况~提示&am…

提示：100道LeetCode热题-16主要是多维动态规划相关，包括五题：不同路径、最小路径和、最长回文子串、最长公共子序列、编辑距离。由于初学，所以我的代码部分仅供参考。

前言

之前做过动态规划，这里扩展到多维情况~

提示：以下是本篇文章正文内容，下面结果代码仅供参考

题目1：不同路径

1.题目要求：

题目如下：

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
示例 1：
输入：m = 3, n = 7
输出：28
示例 2：
输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下
示例 3：
输入：m = 7, n = 3
输出：28
示例 4：
输入：m = 3, n = 3
输出：6
提示：
1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 *

代码框架已经提供如下：

class Solution(object):
def uniquePaths(self, m, n):
"""
:type m: int
:type n: int
:rtype: int
"""

2.结果代码：

class Solution(object):def uniquePaths(self, m, n):""":type m: int:type n: int:rtype: int"""dp = [[1] * n for _ in range(m)]for i in range(1, m):for j in range(1, n):dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]return dp[-1][-1]

说明：

首先，我需要明确题目在问什么。我们有一个m行n列的网格，机器人从左上角（Start）出发，每次只能向右或向下移动一步，目标是到达右下角（Finish）。我们需要计算所有可能的不同路径的数量。机器人需要从左上角(0,0)移动到右下角(m-1,n-1)。在这个过程中：

需要向右移动 (n-1) 次。
需要向下移动 (m-1) 次。
总共的移动步数为 (m-1 + n-1) = m + n - 2 步。

因此，问题转化为：在 m + n - 2 步中，选择 (m-1) 步向下移动（或 (n-1) 步向右移动）的组合数，因此可以使用组合数的方法。虽然组合数学的方法很高效，但本单元是动态规划（DP）的方法，这在某些变种问题（如网格中有障碍物）中可能更灵活：

定义 dp[i][j] 为从 (0,0) 到 (i,j) 的路径数。

递推关系：

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] （因为可以从上方或左方到达）
边界条件：
- dp[0][j] = 1 （第一行只能一直向右）
- dp[i][0] = 1 （第一列只能一直向下）

题目2：最小路径和

1.题目要求：

题目如下：

给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。
说明：每次只能向下或者向右移动一步。
示例 1：
输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出：7
解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。
示例 2：
输入：grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
输出：12
提示：
m == grid.length
n == grid[i].length
1 <= m, n <= 200
0 <= grid[i][j] <= 200

代码框架已经提供如下：

class Solution(object):
def minPathSum(self, grid):
"""
:type grid: List[List[int]]
:rtype: int
"""

2.结果代码：

class Solution(object):def minPathSum(self, grid):""":type grid: List[List[int]]:rtype: int"""if not grid or not grid[0]:return 0m, n = len(grid), len(grid[0])dp = [0] * ndp[0] = grid[0][0]for j in range(1, n):dp[j] = dp[j-1] + grid[0][j]for i in range(1, m):dp[0] += grid[i][0]for j in range(1, n):dp[j] = min(dp[j], dp[j-1]) + grid[i][j]return dp[-1]

说明：

这是一个典型的动态规划问题。我们可以定义 dp[i][j] 为从 (0, 0) 到 (i, j) 的最小路径和。

递推关系：

dp[i][j] = grid[i][j] + min(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
- 可以从上方 (i-1, j) 或左方 (i, j-1) 到达 (i, j)，选择其中较小的路径和加上当前格子的值。

边界条件：

dp[0][0] = grid[0][0]（起点）
第一行 dp[0][j] 只能从左方到达：dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]
第一列 dp[i][0] 只能从上方到达：dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]

题目3：最长回文子串

1.题目要求：

题目如下：

给你一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。
示例 1：
输入：s = "babad"
输出："bab"
解释："aba" 同样是符合题意的答案。
示例 2：
输入：s = "cbbd"
输出："bb"
提示：
1 <= s.length <= 1000
s 仅由数字和英文字母组成

代码框架已经提供如下：

class Solution(object):
def longestPalindrome(self, s):
"""
:type s: str
:rtype: str
"""

2.结果代码：

class Solution(object):def longestPalindrome(self, s):""":type s: str:rtype: str"""if not s:return ""start, end = 0, 0for i in range(len(s)):# 奇数长度left1, right1 = self.expand_around_center(s, i, i)# 偶数长度left2, right2 = self.expand_around_center(s, i, i + 1)if right1 - left1 > end - start:start, end = left1, right1if right2 - left2 > end - start:start, end = left2, right2return s[start:end + 1]def expand_around_center(self, s, left, right):while left >= 0 and right < len(s) and s[left] == s[right]:left -= 1right += 1return left + 1, right - 1

以上是中心扩展法：

回文可以有两种形式：

奇数长度：中心是一个字符，如 "aba"。
偶数长度：中心是两个字符，如 "abba"。

因此，我们需要对每种可能的中心进行扩展：

对于每个字符 s[i]，以 s[i] 为中心扩展。
对于每对字符 s[i] 和 s[i+1]，以 s[i] 和 s[i+1] 为中心扩展。

实现步骤：

初始化最长回文子串的起始和结束索引。
遍历每个字符作为中心：
- 扩展奇数长度的回文。
- 扩展偶数长度的回文。
更新最长回文子串的索引。
返回对应的子串。

如果要动态规划的话，空间复杂度O( $n^{2}$ )：

class Solution(object):def longestPalindrome(self, s):""":type s: str:rtype: str"""if not s:return ""n = len(s)# dp[i][j] 表示 s[i..j] 是否为回文dp = [[False] * n for _ in range(n)]start, max_len = 0, 1  # 至少有一个字符# 长度 1for i in range(n):dp[i][i] = True# 长度 2for i in range(n - 1):if s[i] == s[i + 1]:dp[i][i + 1] = Truestart = imax_len = 2# 长度 >= 3for length in range(3, n + 1):          # 当前考察的子串长度for i in range(n - length + 1):j = i + length - 1if s[i] == s[j] and dp[i + 1][j - 1]:dp[i][j] = Truestart = imax_len = lengthreturn s[start: start + max_len]

1. 思路与状态定义

设 dp[i][j] 表示子串 s[i … j] 是否为回文，其中 0 ≤ i ≤ j < n。
则：

dp[i][j] = True 当且仅当
s[i] == s[j] 且
如果 j - i + 1 > 2，还需满足 dp[i+1][j-1] == True。

2. 递推公式

if s[i] == s[j]:if j - i <= 2:               # 长度 1 或 2dp[i][j] = Trueelse:dp[i][j] = dp[i+1][j-1]
else:dp[i][j] = False

3. 填表顺序

按长度递增（从 1 到 n）
先填所有长度为 1、2、3 … n 的子串，确保 i+1 和 j-1 已经计算过。

4. 边界初始化

所有长度为 1 的子串都是回文：dp[i][i] = True
记录当前最长回文子串的起始索引及长度即可。

题目4：最长公共子序列

1.题目要求：

题目如下：

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。
一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。
两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。
示例 1：
输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 
输出：3  
解释：最长公共子序列是 "ace" ，它的长度为 3 。
示例 2：
输入：text1 = "abc", text2 = "abc"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "abc" ，它的长度为 3 。
示例 3：
输入：text1 = "abc", text2 = "def"
输出：0
解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0 。
提示：
1 <= text1.length, text2.length <= 1000
text1 和 text2 仅由小写英文字符组成。

代码框架已经提供如下：

class Solution(object):
def longestCommonSubsequence(self, text1, text2):
"""
:type text1: str
:type text2: str
:rtype: int
"""

2.结果代码：

class Solution(object):def longestCommonSubsequence(self, text1, text2):m, n = len(text1), len(text2)# dp[i][j] 表示 text1[:i] 与 text2[:j] 的 LCS 长度dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]for i in range(1, m + 1):for j in range(1, n + 1):if text1[i - 1] == text2[j - 1]:dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1else:dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])return dp[m][n]

这是个经典 二维 DP 问题。
设 dp[i][j] 表示 text1[0 .. i-1] 与 text2[0 .. j-1] 的最长公共子序列（LCS）长度。
状态转移：

如果 text1[i-1] == text2[j-1]，则这个字符一定在 LCS 中
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
否则，取“跳过 text1 最后一个字符”或“跳过 text2 最后一个字符”的最大值
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])

边界：dp[0][*] = dp[*][0] = 0（空串的 LCS 长度为 0）

时间复杂度：O(m * n)
空间复杂度：O(m * n)，可压缩为 O(min(m, n))

题目5：编辑距离

1.题目要求：

题目如下：

给你两个单词 word1 和 word2， 请返回将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。
你可以对一个单词进行如下三种操作：
插入一个字符
删除一个字符
替换一个字符
示例 1：
输入：word1 = "horse", word2 = "ros"
输出：3
解释：
horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r')
rorse -> rose (删除 'r')
rose -> ros (删除 'e')
示例 2：
输入：word1 = "intention", word2 = "execution"
输出：5
解释：
intention -> inention (删除 't')
inention -> enention (将 'i' 替换为 'e')
enention -> exention (将 'n' 替换为 'x')
exention -> exection (将 'n' 替换为 'c')
exection -> execution (插入 'u')
提示：
0 <= word1.length, word2.length <= 500
word1 和 word2 由小写英文字母组成

代码框架已经提供如下：

class Solution(object):
def minDistance(self, word1, word2):
"""
:type word1: str
:type word2: str
:rtype: int
"""

2.结果代码：

class Solution(object):def minDistance(self, word1, word2):m, n = len(word1), len(word2)# dp[i][j]: word1[:i] -> word2[:j] 的最小操作数dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]# 边界for i in range(m + 1):dp[i][0] = ifor j in range(n + 1):dp[0][j] = jfor i in range(1, m + 1):for j in range(1, n + 1):if word1[i - 1] == word2[j - 1]:dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]else:dp[i][j] = min(dp[i - 1][j],     # 删除dp[i][j - 1],     # 插入dp[i - 1][j - 1]  # 替换) + 1return dp[m][n]

说明：