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LeetCode 2654. 使数组所有元素变成 1 的最少操作次数 - GCD 思维题详解

news 2025/11/13 12:17:42

问题分析

这道题乍一看可能会让人想到动态规划或贪心算法，但实际上它更像是一道数学思维题。关键在于理解最大公约数（GCD）的特性和传播规律。

核心洞察

GCD 的关键性质

1 的特殊地位：gcd(1, x) = 1 对任何正整数 x 都成立
传播性：如果有一个 1，它可以通过操作"感染"相邻的元素
子数组特性：如果一个子数组的 gcd 为 1，就可以通过操作使整个子数组变成 1

GCD 的结合律性质

GCD 结合律：gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c)

这个性质是理解本题的关键！它告诉我们：

即使 gcd(a, b) ≠ 1 和 gcd(b, c) ≠ 1
仍然可能 gcd(a, b, c) = 1

示例：[6, 10, 15]

gcd(6, 10) = 2，gcd(10, 15) = 5
但是 gcd(6, 10, 15) = gcd(gcd(6, 10), 15) = gcd(2, 15) = 1

这就是为什么需要检查整个数组的 gcd，而不仅仅是相邻元素！

欧几里得算法

计算 GCD 的标准方法是欧几里得算法：

算法原理：gcd(a, b) = gcd(b, a % b)，直到 b = 0

Go 实现：

func gcd(a, b int) int {for b != 0 {a, b = b, a % b}return a
}

示例计算：

gcd(48, 18) = gcd(18, 48 % 18) = gcd(18, 12)
gcd(18, 12) = gcd(12, 18 % 12) = gcd(12, 6)
gcd(12, 6) = gcd(6, 12 % 6) = gcd(6, 0)
gcd(6, 0) = 6

操作的本质理解

题目中的操作实际上是：选择相邻的两个数，用它们的 gcd 替换其中一个。
这相当于我们可以在数组中"传播" gcd 值。

解题思路详解

情况一：数组中已有 1

这是最简单的情况。如果数组中有 count 个 1，那么：

每个非 1 元素只需要 1 次操作就可以变成 1
总操作次数 = 数组长度 - count

示例：[1, 3, 6, 1, 4]

有 2 个 1
需要将 3 个非 1 元素变成 1
操作次数 = 5 - 2 = 3

情况二：数组中没有 1，但整体 gcd = 1

如果数组中没有 1，但整个数组的 gcd 为 1，说明我们可以通过操作得到 1。

关键思路：找到最短的子数组，使其 gcd 为 1。

为什么是最短子数组？

长度为 k 的子数组，需要 k-1 次操作来得到第一个 1
得到 1 后，需要 n-1 次操作传播到整个数组
总次数 = (k-1) + (n-1) = n + k - 2
要使总次数最小，就要使 k 最小

情况三：不可能的情况

如果整个数组的 gcd > 1，那么无论如何操作都不可能得到 1，直接返回 -1。

算法实现

寻找最短 gcd=1 子数组的方法

func findShortestSubarray(nums []int) int {n := len(nums)minLen := n + 1 // 初始化为一个不可能的值// 枚举所有子数组for i := 0; i < n; i++ {currentGcd := nums[i]if currentGcd == 1 {return 1 // 找到长度为1的子数组}for j := i + 1; j < n; j++ {currentGcd = gcd(currentGcd, nums[j])if currentGcd == 1 {minLen = min(minLen, j - i + 1)break // 找到了从这个位置开始的最短子数组}}}return minLen
}

完整解题步骤

统计数组中 1 的个数
如果有 1，直接返回 n - count
如果没有 1，检查整个数组的 gcd
如果整体 gcd > 1，返回 -1
否则，寻找最短子数组使 gcd = 1
计算总操作次数：n + minLen - 2

代码实现

func minOperations(nums []int) int {n := len(nums)// 统计1的个数countOnes := 0for _, num := range nums {if num == 1 {countOnes++}}// 情况1：已经有1if countOnes > 0 {return n - countOnes}// 情况2：没有1，检查整体gcdoverallGcd := nums[0]for i := 1; i < n; i++ {overallGcd = gcd(overallGcd, nums[i])}if overallGcd > 1 {return -1 // 情况3：不可能}// 情况4：寻找最短子数组minLen := n + 1for i := 0; i < n; i++ {currentGcd := nums[i]for j := i + 1; j < n; j++ {currentGcd = gcd(currentGcd, nums[j])if currentGcd == 1 {minLen = min(minLen, j - i + 1)break}}}return n + minLen - 2
}func gcd(a, b int) int {for b != 0 {a, b = b, a % b}return a
}func min(a, b int) int {if a < b {return a}return b
}