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信奥赛CSP-J复赛集训（模拟算法专题）（5）：P1047 [NOIP 2005 普及组] 校门外的树

news 来源：原创 2025/5/10 11:36:14

信奥赛CSP-J复赛集训（模拟算法专题）（5）：P1047 [NOIP 2005 普及组] 校门外的树

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题目描述

某校大门外长度为 $l$ 的马路上有一排树，每两棵相邻的树之间的间隔都是 $1$ 米。我们可以把马路看成一个数轴，马路的一端在数轴 $0$ 的位置，另一端在 $l$ 的位置；数轴上的每个整数点，即 $0,1,2,\dots,l$ ，都种有一棵树。

由于马路上有一些区域要用来建地铁。这些区域用它们在数轴上的起始点和终止点表示。已知任一区域的起始点和终止点的坐标都是整数，区域之间可能有重合的部分。现在要把这些区域中的树（包括区域端点处的两棵树）移走。你的任务是计算将这些树都移走后，马路上还有多少棵树。

输入格式

第一行有两个整数，分别表示马路的长度 $l$ 和区域的数目 $m$ 。

接下来 $m$ 行，每行两个整数 $u, v$ ，表示一个区域的起始点和终止点的坐标。

输出格式

输出一行一个整数，表示将这些树都移走后，马路上剩余的树木数量。

输入输出样例 #1

输入 #1

输出 #1

说明/提示

【数据范围】

对于 $20\%$ 的数据，保证区域之间没有重合的部分。
对于 $100\%$ 的数据，保证 $\leq l \leq 10^4$ ， $\leq m \leq 100$ ， $\leq u \leq v \leq l$ 。

【题目来源】

NOIP 2005 普及组第二题

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int l, m, x, y;       // l：道路总长度，m：施工区域数量，x/y：施工区域起止点
int a[10010] = {0};   // 记录树的状态数组（0 未移除，1 已移除），默认初始化为0
int cnt = 0;          // 统计被移除的树的总数

int main() {
    cin >> l >> m;    // 输入道路长度和施工区域数量
    for (int i = 1; i <= m; i++) {  // 遍历每个施工区域
        cin >> x >> y;              // 输入当前区域的起止点
        // 标记区间 [x, y] 内的树为移除状态
        for (int j = x; j <= y; j++) {
            a[j] = 1;               // 1 表示该位置的树被移除
        }
    }
    // 统计所有被移除的树（遍历 0 到 l 的位置）
    for (int i = 0; i <= l; i++) {  
        if (a[i] == 1) cnt++;       // 累计标记为 1 的树
    }
    // 输出剩余树的数量（总树数 l+1 减去被移除的树 cnt）
    cout << l + 1 - cnt;
    return 0;
}

代码功能分析：

问题背景
题目模拟道路上的树木移除问题。道路长度为 l，共有 l+1 棵树（位置编号 0 到 l）。给定 m 个施工区域，每个区域需要移除区间 [x, y] 内的所有树。最终要求计算移除后剩余的树的数量。
核心思路
- 标记法：通过数组 a 记录每个位置的树是否被移除。数组下标对应树的位置，值 0/1 表示未移除/已移除。
- 两阶段处理：
  - 标记阶段：遍历所有施工区域，将对应区间内的树标记为移除（置 1）。
  - 统计阶段：遍历道路上的所有树，统计被移除的数量 cnt，最终剩余树数 = 总树数 l+1 - cnt。
复杂度与优化
- 时间复杂度：O(mΔ + l)，其中 Δ 是平均区间长度。当 Δ 较大时（如接近 l），复杂度接近 O(ml + l)。
- 优化思路：对于大规模数据，可用差分数组或区间合并优化标记过程，将时间复杂度降至 O(m + l)。
关键细节
- 数组 a 的初始化利用了全局变量的特性（默认全 0）。
- 区间标记允许重叠，重复标记不影响结果（值保持为 1）。
- 最终遍历范围是 0 到 l（包含两端点），对应 l+1 棵树。