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dfs:五子棋对弈15蓝桥杯a组1题

news 来源：原创 2025/5/15 15:39:17

题目分析
问题描述
在一个5×5的棋盘上，小蓝（白棋）和小桥（黑棋）交替下棋，白棋先手。要求棋盘被填满时，双方均未形成五连珠，求满足条件的棋局数目。

关键条件
1. **棋盘填满**：白棋13个，黑棋12个。
2. **平局判定**：填满时，所有行、列、对角线均无连续五个同色棋子。
3. **下棋顺序**：必须严格交替，白棋先手。

---

解法思路
深度优先搜索（DFS）结合剪枝
通过DFS遍历所有可能的棋盘状态，在填满棋盘时检查是否满足平局条件。
- **递归状态**：当前已下棋子数（`sum`）、白棋数（`b`）、黑棋数（`h`）。
- **剪枝条件**：若某一步形成五连珠，立即终止该分支。
- **遍历顺序**：按棋盘格子顺序依次尝试放置白棋或黑棋，但需确保颜色数量合法。

代码实现
cpp

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//方法:搜索
//分解题目:条件1:棋盘被填满，得出白棋13个黑棋12个。更具平局条件，找到搜索算法的退出条件。
//递归条件:每个格子只有两种状态白和黑记作1和0，
//定义一个变量记录平局数量
int mp[5][5];
long long u=0;
void dfs(int sum,int b,int h)
{
  //更具分析先写框架即退出条件
  if(sum==25)
  {
    //第一个要满足的条件，不符合return掉
    if(b==13&&h==12)
    {
      //连续五个棋子一样跳出;
      for(int i=0;i<5;i++)
      {
        int p=mp[i][0]+mp[i][1]+mp[i][2]+mp[i][3]+mp[i][4];
        if(p==0||p==5) return;
          int q=mp[0][i]+mp[1][i]+mp[2][i]+mp[3][i]+mp[4][i];
        if(q==0||q==5) return;
      }
      //判断对角线
      int s=mp[0][0]+mp[1][1]+mp[2][2]+mp[3][3]+mp[4][4];
      if(s==0||s==5) return;
      int f=mp[0][4]+mp[1][3]+mp[2][2]+mp[3][1]+mp[4][0];
      if(f==0||f==5) return;
      u++;
    }
    return;
  }
  //递归条件处理地图
  //对于坐标的处理，可以利用sum的值小技巧
  int x=sum/5;
  int y=sum%5;
//白棋先手
  mp[x][y]=1;
  dfs(sum+1,b+1,h);
  mp[x][y]=0;
  dfs(sum+1,b,h+1);
}
//
int main()
{
  dfs(0,0,0);
  cout<<u;
}

代码解释
1. **棋盘表示**：使用二维数组 `mp` 存储棋盘状态
2. DFS递归：
-sum` 表示当前步数，决定当前玩家颜色（白棋为1，黑棋为0）。
- 按顺序遍历每个格子，放置当前颜色后检查是否形成五连珠。
3. **剪枝优化**：在每一步放置棋子后立即检查是否形成五连珠，若形成则终止该分支。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int mp[5][5];  // 棋盘状态，0为黑棋，1为白棋
long long result = 0;

// 检查当前位置是否形成五连珠
bool check(int x, int y) {
    int color = mp[x][y];
    
    // 检查行
    int cnt = 1;
    for (int i = y-1; i >= 0 && mp[x][i] == color; i--) cnt++;
    for (int i = y+1; i < 5 && mp[x][i] == color; i++) cnt++;
    if (cnt >= 5) return false;
    
    // 检查列
    cnt = 1;
    for (int i = x-1; i >= 0 && mp[i][y] == color; i--) cnt++;
    for (int i = x+1; i < 5 && mp[i][y] == color; i++) cnt++;
    if (cnt >= 5) return false;
    
    // 检查主对角线
    cnt = 1;
    for (int i = x-1, j = y-1; i >= 0 && j >= 0 && mp[i][j] == color; i--, j--) cnt++;
    for (int i = x+1, j = y+1; i < 5 && j < 5 && mp[i][j] == color; i++, j++) cnt++;
    if (cnt >= 5) return false;
    
    // 检查副对角线
    cnt = 1;
    for (int i = x-1, j = y+1; i >= 0 && j < 5 && mp[i][j] == color; i--, j++) cnt++;
    for (int i = x+1, j = y-1; i < 5 && j >= 0 && mp[i][j] == color; i++, j--) cnt++;
    if (cnt >= 5) return false;
    
    return true;
}

// DFS遍历
void dfs(int step) {
    if (step == 25) {
        // 白棋13个，黑棋12个且无五连珠
        result++;
        return;
    }
    
    int x = step / 5, y = step % 5;
    // 当前玩家颜色（白棋先手）
    int color = (step % 2 == 0) ? 1 : 0;
    
    // 尝试放置当前颜色
    mp[x][y] = color;
    if (check(x, y)) {  // 剪枝：检查是否形成五连
        dfs(step + 1);
    }
    // 回溯
    mp[x][y] = -1;
}

int main() {
    memset(mp, -1, sizeof(mp));  // 初始化为-1表示空
    dfs(0);
    cout << result << endl;
    return 0;
}

4. **结果统计**：当棋盘填满且未形成五连珠时，计数增加。

---

复杂度分析
- **时间复杂度**：最坏情况下为 $O(25!)$，但通过剪枝大幅减少实际遍历次数。
- **空间复杂度**：$O(25)$，递归深度为棋盘大小。

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**总结**
本题通过DFS遍历所有合法的棋盘状态，结合剪枝优化确保每一步均符合五子棋规则。代码模拟了严格的交替下棋过程，并实时检查五连珠条件，确保结果正确。该解法直观体现了回溯算法的核心思想，适用于小规模棋盘问题的求解。