【从零开始学习计算机科学】计算机组成原理（二）信息表示与编码

信息表示与编码

进位计数制

进位计数制是指，用少量的数字符号，按先后次序把它们排成数位，由低到高进行计数，计满进位，这样的方法称为进位计数制。

在进位计数制中，基数是一个很重要的概念。基数是指进位制基本特征数，即所用到的数字符号个数。
在进位计数制中，我们可以用一个与基数相关的多项式来表示该进制下的任意一个数。

十进制（Decimal）

基数：10。

符号：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9。

计算规律：逢十进一或借一当十。

十进制数的多项式表示：
$$N_{10}=d_{n-1}\times 10^{n-1}+d_{n-2}\times 10^{n-2}+\cdots +d_1\times 10^1+d_0\times 10^0+d_{-1}\times 10^{-1}+d_{-2}\times 10^{-2}+\cdots +d_{-m}\times 10^{-m}$$
其中 m，n 为正整数，其中 n 为整数位数；m 为小数位数。$D_i$ 表示第 i 位的系数，$10^i$ 称为该位的权。

二进制（Binary）

基数：2。

符号：0,1。

计算规律：逢二进一或借一。

二进制的多项式表示：
$$N_2=d_{n-1}\times 2^{n-1}+d_{n-2}\times 2^{n-2}+\cdots +d_1\times 2^1+d_0\times 2^0+d_{-1}\times 2^{-1}+d_{-2}\times 2^{-2}+\cdots +d_{-m}\times 2^{-m}$$
其中 n 为整数位数；m 为小数位数。$D_i$ 表示第 i 位的系数，$2^i$ 称为该位的权。

十六进制（Hexadecimal）

基数：16。

符号：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F。

计算规律：逢十六进一或借一当十六。

十六进制的多项式表示：
$$N_{16}=d_{n-1}\times 16^{n-1}+d_{n-2}\times 16^{n-2}+\cdots +d_1\times 16^1+d_0\times 16^0+d_{-1}\times 16^{-1}+d_{-2}\times 16^{-2}+\cdots +d_{-m}\times 16^{-m}$$
其中 n 为整数位数；m 为小数位数。$D_i$ 表示第 i 位的系数，$16^i$ 称为该位的权。

进位计数制之间的转换

1. R进制转换成十进制的方法

按权展开法：先写成多项式，然后计算十进制结果。
$$N=d_{n-1}\times R^{n-1}+d_{n-2}\times R^{n-2}+\cdots +d_1\times R^1+d_0\times R^0+d_{-1}\times R^{-1}+d_{-2}\times R^{-2}+\cdots +d_{-m}\times R^{-m}$$

2. 十进制转换成二进制方法

方法1、分别对整数部分和小数部分采用两种不同的方法。

整数部分的转换采用除2取余法（基数除法）。除基取余法把给定的除以基数，取余数作为最低位的系数，然后继续将商部分除以基数，余数作为次低位系数，重复操作直至商为0。

小数部分的转换乘2取整法（基数乘法）。乘基取整法把给定的十进制小数乘以2，取其整数作为二进制小数的第一位，然后取小数部分继续乘以2,将所的整数部分作为第二位小数,重复操作直至得到所需要的二进制小数。

方法2、减权定位法。

减权定位法将十进制数依次从二进制的最高位权值进行比较，若够减则对应位置1，减去该权值后再往下比较，若不够减则对应位为0，重复操作直至差数为0。

常用的信息分类与表示

信息存在数值信息与非数值信息，数值信息包括无符号数和有符号数，无符号数默认为正整数，有符号数分为定点数和浮点数。

在计算机中，正、负号与某进制数绝对值的形式称为真值。如 +3，-5 等，即实际值；符号以及数值都数码化的数称为机器数，如 X=01011，Y=1101，即真值在机器中的表示。

计算机中常用的数据表示格式有两种，定点格式与浮点格式。定点格式容许的数值范围有限，但要求的处理硬件比较简单。浮点格式容许的数值范围很大，但要求的处理硬件比较复杂。

定点表示

定点表示约定机器中所有数据的小数点位置是固定不变的。（由于约定在固定的位置，小数点就不再使用记号“.”来表示）通常将数据表示成纯小数或纯整数。

因此，定点数就是指小数点位置固定不变的数。定点数分为定点整数和定点小数。定点整数是指小数点固定在最低位数的右面；定点小数是指小数点固定在最高位数的后面，即纯小数表示。

定点数表示的范围如下：

纯小数：
$$0\le |x|\le 1-2^{-n}$$

纯整数：
$$0\le |x|\le 2^{n-1}$$

目前计算机中多采用定点纯整数表示，因此我们将定点数表示的运算简称为整数运算。

无符号数的编码

正整数的表示

正整数可以表示为以下的位串：
x = x 0 x 1 x 2 … x n , x i = { 0 , 1 } , 0 ≤ i ≤ n x = x_0 x_1 x_2 \ldots x_n, \quad x_i = \{0,1\}, \quad 0 \leq i \leq n x=x0​x1​x2​…xn​,xi​={ 0,1},0≤i≤n
即
$$x=x_0\cdot 2^n+x_1\cdot 2^{n-1}+\dots +x_{n-1}\cdot 2^1+x_n$$
其中 $0\le x\le 2^{n+1}-1$

例如，对于 $x=010101$，其数值为 $2^4+2^2+2^0=21$。

在实际的数据处理的过程中，如不需要设置符号位可用全部字长来表示数值大小。如 8 位无符号数的取值范围是 0~255（$2^8-1$）。

原码表示法

定点小数的原码表示

若定点小数的原码形式为 $x_0$