原函数存在定理

陶冶情操

陶冶的冶居然是读 ye ，第三声，我一直以为是 yan ，哈哈哈难怪拼音敲不出来这个词儿。

“最是那一低头的温柔，像一朵水莲花不胜凉风的娇羞。”

这句话写于一百年之前，有点意思。

序言

呜呜呜，手残把博客背景改了，改不回来了。。。等我全站排名 100 我充个会员，或者等博客等级到 8 应该也可以。不定积分的内容比较少，我准备写一篇笔记总结我对这一章的知识的理解。重点可能就是不定积分的计算。说实话，感觉自己的计算能力还算不错。主要是被以前的老师夸赞了，我们得多夸赞自己，这样才能让自己有信心学好一些知识点。计算机和数学有点像，都是计算，计算还是有点意思，也不仅仅是说计算数学式子，还有计算一些面对的事情，或者叫做分析。

概念

对一个函数求积分，是一个原函数，求积分之后再加上一个常数，是全体原函数。此处描述得没有非常严谨，只是想表达这个意思，意会一下这个意思哈哈哈。

原函数

学反函数的时候，我们没有把函数称为原函数，而是称为原来的函数，是因为原函数这个是一个专有名词，有点像编代码的时候的关键字，已经被占用了，再进行使用可能会引起歧义。

不定积分

目前理解的不定积分就是没有积分上下限的，有积分上下限的可能就是定积分。

求导公式

可能这个是重点。有一些期末考试不是很常用的公式，我记得不是很清楚。感觉今天得把它们都给记住，不然每次遇到都有点力不从心，非常无奈。求导公式是求不定积分的重点，因为他们基本上就是逆运算。

幂函数+指数函数

假设我们在运算的时候遇到幂指函数，也就是说，底数是变量，指数也是变量的时候，我们进行幂指转换，换成以 e 为底数的式子。求导的时候更加方便。转换是把指数直接拿下来，原来的底数作为 ln 的真数。文字描述有点抽象，写个数学表达式应该就比较清晰了。
$$x^{\sin x}=e^{\sin x\ln x}$$
多写几次 latex 公式，感觉非常有意思。都是前人的伟大发明创造。非常方便。

拐点

拐点是曲线凹凸性发生改变的点，假设要求拐点，一定要写出完整的横纵坐标，和求极值点不一样，求极值点只需要写出横坐标，求极值只需要写出纵坐标。拐点的可疑点是，要么二阶导数为零，要么二阶导数不存在，我们可以根据二阶导数去心邻域的正负情况或者三阶导数是否等于零，来判断当前点是否是拐点。

要求原来函数在 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，实际上，假设在 $x_0$ 处二阶可导，在这个点处一定连续，因为二阶可导，二阶连续，二阶导数存在，一阶导数连续，一阶导数存在，原来函数连续。这里的证明涉及了一些连续和间断的知识点。好像不是，是导数的知识点。难怪我问几个朋友有点答不上来，原来是我搞错了，这个知识点是导数的知识点。并不是说知识点错了。是说定位错了。和不定积分结合起来考察的话，可以先给一个不定积分，让求出来原函数。然后求导。判断二阶导数，三阶导数。感觉假设自己写一个题，虽然别人建议是写很多个题然后统一订正，我还是想写一个题，就判断一个题，然后详细看解析，从解析里面分析自己的思路和参考答案的思路之间的异同点。

拐点判断的第二充分条件

假设三阶导数等于零，我们不能判断这个点就一定不是拐点，因为这只是充分条件，不是必要条件。三阶导数不等于零能判断这个点是拐点，三阶导数等于零不能判断这个点不是拐点。感觉写数学题很多很细致的东西，假设这些细致的东西没有思考清楚，出题人随便挖个坑，我就直接跳进去了，不带丝毫犹豫，还以为自己一顿算是正确的呢。所以是不是用第一充分条件更爽一点。可以非常直观地判断是不是拐点，没有任何风险。

解题经验

已知导函数，可以求出原函数。对导函数求一次不定积分即可。常数不会产生影响。或者说在解题的时候影响不大。只有在求不定积分填空的时候，注意求全体原函数，额外加上一个常数即可。
$$f(x)=\int f^{\prime }(x)dx$$

换字母

假设我们求出来一个函数，但是自变量不是我们想要的 x ，比如说是 $lnx$ 之类的，我们把 $lnx$ 看成是另一个自变量 $t$ ，即可解决这个问题。因为函数和自变量的字母的选取是没有关系的，把这个理解为整体代换也是可以的。

经典的振荡间断点的函数举例

$$f(x)=\{\begin{array}{l}{x}^{2}sin\frac{1}{x},x\ne 0\\ 0,x=0\end{array}$$

原函数存在定理

$f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 内处处有定义，存在第一类间断点或者无穷间断点，那么在这个区间内一定不存在原函数。

根据这个定理，可以推出一条结论，若导函数在区间 I 上处处有定义，它一定不存在第一类间断点和无穷间断点。（至多存在振荡间断点）

有个朋友和我说，没事干就多复习，感觉有点道理。哈哈哈。

积分表

积分表应该是必须要记住的东西。基础的东西是重中之重。记忆我认为就是要多重复。然后就没有别的任何办法了。学习和锻炼肌肉是一样的。都是需要训练的。看微博看到过一个有意思的内容，有个大佬，发了一张自己的照片，说自己当年的气质还是很能打的，网友评论说这个气质能打，是和马云打吗，哈哈哈太有意思了。我还是扎实一些，就把考纲内的东西练熟练就好。大纲外的东西太多了，能把基础的，根本的东西学好就行了。另外注意整体代换这个思路。