Educational Codeforces Round 7 F. The Sum of the k-th Powers 多项式、拉格朗日插值

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题目大意

求 $({\sum }_{i=1}^n{i}^k)$ $mod(10^9+7)$ .
数据范围 ：$1\le n\le 10^9$ , $0\le k\le 10^6$ .

思路

令$f(n)={\sum }_{i=1}^n=1^k+2^k+\cdot \cdot \cdot +n^k$.

观察题面可以发现，所求的答案是一个 $k+1$ 次多项式，我们只需要找 $k+2$ 个点带入拉格朗日插值公式中就可以计算出 $f(n)$ .

$n+1$ 组点值 $(x_i,y_i)$ ,得到的 $n$ 次多项式 $f(n)$ 的拉格朗日插值的方法为 : $f(x)={\sum }_{i=0}^n{y}_i{\prod }_{j\ne i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$ .

如果按照这个公式代进去硬算时间复杂度 $O(n^2)$ ,但我们可以选 $k+2$ 个连续的点对这个式子进行简化。

我们把 $1$ 到 $k+2$ 代入，对于分子，$(n-1)(n-2)\cdot \cdot \cdot (n-(i-1))$ 乘与 $(n-(k+2))(n-(k+1))\cdot \cdot \cdot (n-(i+1))$ ,这个可以 $O(k+2)$ 预处理出来前缀积和后缀积，$O(1)$ 取用；对于分母是 $1$ 乘到 $(i-1)$ 再乘上 $-1$ 乘到 $(-(k+2-i)$ ,可以 $O(k+2)$内预处理出 $1$ 到 $k+2$ 阶乘的逆元，$O(1)$ 取用。

code

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define ll long long
#define pii pair<int, int>

using namespace std;
const int N = 1e6 + 1000, mod = 1e9 + 7;
int pre[N], suf[N], infac[N];

int ksm(int x, int k)
{
    int res = 1;
    while (k > 0)
    {
        if (k & 1)
            res = res * x % mod;
        x = x * x % mod;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}

int inv(int x)
{
    return ksm(x, mod - 2);
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    pre[0] = suf[k + 3] = infac[0] = 1;
    int fac = 1;
    for (int i = 1; i <= k + 2; ++i)
    {
        pre[i] = pre[i - 1] * (n - i) % mod;
        fac = fac * i % mod;
    }
    infac[k + 2] = inv(fac);
    for (int i = k + 2; i >= 1; --i)
    {
        suf[i] = suf[i + 1] * (n - i) % mod;
        if (i < k + 2)
            infac[i] = infac[i + 1] * (i + 1) % mod;
    }
    int y = 0, ans = 0;
    for (int i = 1; i <= k + 2; ++i)
    {
        y = (y + ksm(i, k)) % mod;
        int tmp1 = pre[i - 1] * suf[i + 1] % mod;
        int tmp2 = infac[i - 1] * (((k + 2 - i) & 1) ? mod - infac[k + 2 - i] : infac[k + 2 - i]) % mod;
        ans = (ans + y * tmp1 % mod * tmp2 % mod) % mod;
    }
    cout << (ans + mod) % mod << '\n';
    return 0;
}