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news 2025/11/10 4:11:51

外贸网站模,最新商业资讯,高密市网站建设,企业cms网站建设考试题本文基于前述大气波导信道中的抛物型方程方法，进一步探讨求解过程中边界条件的重要性。重点分析光滑与粗糙海面条件下边界的建模策略与数学处理方式。目录 （一）边界条件在 PE 方程传播建模中的关键作用 1.1 什么是边界条件？ 1…

本文基于前述大气波导信道中的抛物型方程方法，进一步探讨求解过程中边界条件的重要性。重点分析光滑与粗糙海面条件下边界的建模策略与数学处理方式。

（一）边界条件在 PE 方程传播建模中的关键作用

1.1 什么是边界条件？

1.2 PE 方程为什么必须依赖边界条件？

1.3 实际中常见的边界条件

1.3.1 下边界（海面）

1.3.2 上边界（大气顶）

（二）海面边界条件

2.1 光滑海面条件下的建模方法

2.1.1 Leontovich 阻抗边界条件的表达式

2.1.2 阻抗系数 α 的计算与作用机制

2.1.3 数值求解方法：DMFT 算法

2.2 粗糙海面条件下的近似建模方法

2.2.1 粗糙海面边界条件的表达式

2.2.2 粗糙海面下的有效反射系数表达式：

2.2.3 两种近似模型

2.2.3.1 Ament 模型

2.2.3.2 MB 模型

2.2.4 两种模型小结

（一）边界条件在 PE 方程传播建模中的关键作用

在海洋电磁波传播建模中，抛物型波动方程（Parabolic Equation, PE） 是一种高效而准确的方法，广泛用于模拟电磁波在复杂环境中的传播损耗（path loss）。然而，仅有 PE 方程还不足以构成一个完整的数学问题 —— 为了保证求解的唯一性和物理合理性，必须在模型的上下边界处施加边界条件。

1.1 什么是边界条件？

边界条件是指在模型所定义的区域边界上，对电磁场的某些量（如场值、导数、线性组合）进行限定。它们告诉我们电磁波在遇到海面、大气顶、障碍物等边界时如何响应。

换句话说，PE 方程决定了“波在空间中如何传播”，而边界条件规定了“波在边界上怎么反射、吸收、穿透或衰减”。

1.2 PE 方程为什么必须依赖边界条件？

PE 方程是从全波的 Helmholtz 方程推导而来的一种近似形式，它本质上是一个初始-边值问题（Initial-Boundary Value Problem）。如果没有边界条件：

求解结果将不唯一；
数值方法将无法收敛；
得到的传播损耗将不符合实际物理行为（比如：波可以“穿过海面”无限向下延伸）。

1.3 实际中常见的边界条件

在电磁波上海面传播建模中，边界条件通常分为两类：

1.3.1 下边界（海面）

理想导体边界（PEC）：假设海面完全反射，不考虑波渗透；
Leontovich阻抗边界条件（IBC）：引入复阻抗，考虑海水导电性和波动吸收；
粗糙海面修正阻抗模型：进一步考虑风浪、水面不平整造成的反射/散射效应。

1.3.2 上边界（大气顶）

吸收边界（如透明边界、PML）：防止数值波在计算顶端反射回来；
开放边界假设：假设电磁波无限扩展，不反弹回来；

（二）海面边界条件

2.1 光滑海面条件下的建模方法

导体和介质对电磁波的影响：

导体中由于电导率高，入射电磁波激发强感应电流，形成明显的趋肤效应，使场量在极浅表层迅速衰减，难以深入传播。相比之下，介质电导率低，电磁波可在其中以有限损耗传播，展现出良好的透射性。因此，导体表现为高反射、弱透射，而介质则易于电磁波传播与折射。

不同材料对电磁波传播的电磁特性对比表

属性导体（如铜、银）海水（典型频率下）介质（如空气、水、玻璃）
电导率 σ 极高（≫ 10⁶ S/m）中等（约 4 S/m）很低（≈ 0 S/m）
电磁波传播能力 极差（迅速衰减）有限传播（高损耗）良好（可穿透传播）
能量分布 限于表层，强趋肤效应浅层传播，有损耗分布于内部
典型行为 高反射、低透射部分反射、部分吸收折射、透射为主
皮肤深度 δ 极小（微米级 @ GHz）小（厘米级，频率相关）不适用（无明显趋肤限制）
感应电流 强，抑制电场渗透存在，引起衰减弱，电场可自由传播

海水既不是理想导体，也不是理想介质，但在电磁波传播问题中，通常被视为“弱导体”或“有损介质”，其电磁特性介于导体与介质之间

属性	导体（如铜、银）	海水（典型频率下）	介质（如空气、水、玻璃）
电导率 σ	极高（≫ 10⁶ S/m）	中等（约 4 S/m）	很低（≈ 0 S/m）
电磁波传播能力	极差（迅速衰减）	有限传播（高损耗）	良好（可穿透传播）
能量分布	限于表层，强趋肤效应	浅层传播，有损耗	分布于内部
典型行为	高反射、低透射	部分反射、部分吸收	折射、透射为主
皮肤深度 δ	极小（微米级 @ GHz）	小（厘米级，频率相关）	不适用（无明显趋肤限制）
感应电流	强，抑制电场渗透	存在，引起衰减	弱，电场可自由传播

在使用 PE（抛物型波动）方程进行海面传播建模时，要考虑下边界（即海面）对电磁波的反射与吸收作用。为了精确地模拟这些效应，我们引入了 Leontovich 阻抗边界条件。

阻抗边界条件：当电磁波入射到金属表面时，若为理想导体，电导率为无穷大，表面阻抗为0，电场被完全反射；而对于实际导体，电场可在表层有限深度内渗透，并激发感应电流。阻抗边界条件通过引入表面阻抗，有效地表征了这种有限导电率材料对电场与磁场之间的响应关系。

然而，直接将阻抗条件离散代入 PE 解法时会出现不稳定或误差累积。为此，Kuttler 等学者提出了一种更稳定的处理方式 —— 混合傅里叶变换算法（MFT），并进一步发展为 离散混合傅里叶变换（DMFT）算法。

2.1.1 Leontovich 阻抗边界条件的表达式

Leontovich 阻抗边界条件可简化为一阶边界微分条件：

$\frac{\partial u}{\partial z} + \alpha u = 0, \quad z = 0$

其中：

u：表示电场包络（PE 解的主变量）；
z=0：对应海面边界；
α：是等效阻抗系数，决定电磁波如何被“反射+吸收”。

Leontovich 阻抗边界条件描述了电磁波在 z=0z = 0z=0 边界处的反射与吸收行为，约束了其沿垂直方向的传播特性。

2.1.2 阻抗系数 α 的计算与作用机制

$\alpha = ik \sin\theta \left( \frac{1 - \Gamma}{1 + \Gamma} \right)$

k：波数；
θ：电磁波入射角；
：复反射系数，代表海面反射强度和相位变化；
- 例如：理想导体 $\Gamma = -1$ ，则 $\alpha \to \infty$ ，对应完全反射；
- 吸收性海面 $\Gamma < 1$ ，α为复数，产生传播损耗。

这个公式实际上把 Leontovich 边界条件转化为一个可直接用于数值求解的形式 —— 只需要计算一个复系数 α，就可以嵌入到 PE 求解流程中。

阻抗系数 α反映了电磁波在海面（或其他边界）上的反射与吸收能力，它决定了：

有多少波能从边界反弹回来；
有多少波会被边界吸收衰减；
波在边界上是否产生相位偏移。

在数值计算中，它调节海面附近网格的电场值，影响整个波的传播模式和传播损耗。

不同条件下 α的典型取值趋势

条件	α的大小和特性	对传播的影响
理想导体海面（PEC）	α→∞	完全反射，无吸收
高导电海水（真实海面）	α 为较大复数	强反射 + 少量吸收（常见情况）
低导电介质	α 较小	部分反射，部分穿透
高入射角（斜射）	α 增大	更强反射，干涉增强
低入射角（近垂直）	α 接近零或趋于纯虚数	弱反射，易穿透
频率升高（GHz）	α 增大（因 k 增大）	反射更强，波导更明显

2.1.3 数值求解方法：DMFT 算法

（注：本文不涉及具体计算步骤）

由于阻抗边界条件涉及复数导数项，如果直接差分处理，会出现不稳定性或边界振荡。为此，DMFT 算法使用傅里叶变换的方式，将垂直方向的导数项转化到频域处理，再反变换回空间域，使得求解过程更加平滑、稳定。

2.2 粗糙海面条件下的近似建模方法

在实际海洋环境中，海面并非理想平滑，而是具有随机波浪起伏。这些粗糙特性会显著影响电磁波的反射和传播，表现为：

反射系数降低；
传播损耗增大；
干涉结构变模糊。

因此，必须在建模中引入粗糙修正机制。

2.2.1 粗糙海面边界条件的表达式

对不同浪高条件下的反电磁场进行积分即可得到有效的反射电磁场:

$\varphi_r = \Gamma\varphi_0 \int_{-\infty}^{+\infty} \exp(-2ik_0 \xi \sin\alpha) \cdot p(\xi)\, d\xi$

参数说明：

$\varphi_r$ ：粗糙海面下的有效反射电磁场；
$\varphi_0$ ：入射场强；
$\Gamma$ ：平滑海面（Fresnel）反射系数；
$k_0$ ：波数；
α：入射角；
ξ：海浪高度变量；
p(ξ)：海浪高度的概率密度函数。

2.2.2 粗糙海面下的有效反射系数表达式：

因此，粗糙海表面对电磁波的反射过程可视为反射系数的变化，海面的有效反射系数可表示为：

$\Gamma_r = \rho \cdot \Gamma$

$\Gamma_r$ ：有效反射系数（考虑了粗糙度）
$\Gamma$ ：光滑海面的 Fresnel 反射系数
ρ：粗糙度衰减因子

因此，粗糙度衰减因子定义为：

$\rho(\alpha) = \int_{-\infty}^{+\infty} \exp(-2ik_0 \xi \sin\alpha) \cdot p(\xi)\, d\xi$

此时：

$\varphi_r = \Gamma_{r} \varphi_0$

我们只需要求出有效反射系数 $\Gamma_r$ 。

2.2.3 两种近似模型

两种近似模型的主要区别在于海浪高度的概率密度函数不同。

2.2.3.1 Ament 模型

Ament 模型中海浪高度为高斯分布时的概率密度函数：

$p_A(\xi; \sigma_\xi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma_\xi} \exp\left(-\frac{\xi^2}{2\sigma_\xi^2}\right)$

$\sigma_\xi$ ：波高标准差
表示海面高度服从零均值、方差为 $\sigma_\xi^2$ 的正态分布

代入 $p_A$ 后得到的积分表达式：

$\rho_A(\gamma) = \int_{-\infty}^{+\infty} \exp(-i\gamma \xi) p_A(\xi) d\xi = \exp\left(-0.5\gamma^2\right)$

$\gamma = 2k_0 \sin\alpha \cdot \sigma_\xi$

Ament 模型下的有效反射系数最终表达式：

$\Gamma_A = \exp(-0.5 \gamma^2) \cdot \Gamma$

很直观地反映出波高越大、入射角越斜，反射越弱。

2.2.3.2 MB 模型

MB 模型中修正后的概率密度函数（Bessel 函数项出现）：

$p_{MB}(\xi; \sigma_\xi) = \frac{2}{2\pi^{3/2} \sigma_\xi} \exp\left(-\frac{\xi^2}{8\sigma_\xi^2}\right) K_0\left(\frac{\xi^2}{8\sigma_\xi^2}\right)$

$K_0(\cdot)$ ：第二类零阶修正 Bessel 函数
MB 模型更适合中等波浪高度（非严格高斯分布）

MB 模型的粗糙度衰减因子：

$\rho_{MB}(\alpha, \sigma_\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty} \exp(-i\gamma \xi) \cdot p_A(\xi)\, d\xi = \exp\left(-0.5\gamma^2\right) I_0\left(0.5\gamma^2\right)$