Educational Codeforces Round 27 G.Shortest Path Problem? 线性基、dfs

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题目大意

给定一张 $n$ ( 1$\le$ $n$ $\le$ $10^5$) 个点 $m$ ( $n-1$$\le$ $m$ $\le$ $10^5$) 条边的无向图，一开始你在点 1，且价值为 0，每次你可以选择一个相邻的点，然后走过去，并将价值异或上该边权，如果在点 $n$，你可以选择结束游戏，求一种方案，使得结束游戏后价值最小。

思路

所求的最短 $xor$ 路径一定是由一条链加 $0$ 个或多个环构成。

首先，这一条链任选即可，因为该图是连通的，若所选的链 $A$ 非最佳的链 $B$ ，由于它们所处的图是连通的， $1$ 到 $n$ 之间有多条路径说明其中形成了环，用路径 $A$ $xor$ 上该环一定能得到最佳路径 $B$，这样就选出了最佳链。至于要不要有环，只需要贪心一下，要是 $xor$ 上该环能使得 $xor$ 减小就异或上它。

其次，要预处理出所有的环，可直接从1号点开始 $dfs$ ，每经过一个点就记录从1号点到当前点的路径 $xor$ 和。若一个点被多次经过则说明成环了，存下该环的路径异或和，用线性基存。

code

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define ll long long
#define pii pair<int, int>

using namespace std;
const int N = 1e5 + 1000;
vector<pii> v[N];
int w[N], p[N], a[35];
bool st[N];
int n, m;

void insert(int x)
{
    for (int i = 30; i >= 0; --i)
    {
        if (!((1ll << i) & x))
            continue;
        if (a[i])
            x ^= a[i];
        else
        {
            a[i] = x;
            break;
        }
    }
}

void dfs(int id, int fa)
{
    st[id] = 1;
    for (auto k : v[id])
    {
        if (k.first == fa)
            continue;
        if (st[k.first])
        {
            int tmp = p[id] ^ p[k.first] ^ w[k.second];
            insert(tmp);
        }
        else
        {
            p[k.first] = p[id] ^ w[k.second];
            dfs(k.first, id);
        }
    }
}

void solve()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= m; ++i)
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        v[a].push_back({b, i});
        v[b].push_back({a, i});
        w[i] = c;
    }
    dfs(1, -1);
    int res = p[n];
    for (int i = 30; i >= 0; --i)
        if ((res ^ a[i]) < res)
            res = res ^ a[i];
    cout << res << '\n';
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t = 1;
    // cin >> t;
    while (t--)
        solve();
    return 0;
}