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环形链表入口检测算法数学解释

数学原理

1. 假设定义:

   • 链表头到环入口的距离为 a
   • 环入口到相遇点的距离为 b
   • 相遇点到环入口的距离为 c
   • 环的长度为 b + c

2. 第一次相遇时:

   • 慢指针走了 s = a + b 步
   • 快指针走了 f = a + b + n(b + c) 步，其中 n 是快指针在环内转的圈数
   • 由于快指针速度是慢指针的2倍，所以 f = 2s

3. 代入求解:

   2(a + b) = a + b + n(b + c)
   a + b = n(b + c)
   a = n(b + c) - b
   a = (n-1)(b + c) + c
   

4. 关键结论:

   • 当 n=1 时，a = c
   • 这意味着：从链表头到环入口的距离 = 从相遇点继续走到环入口的距离

当n不等于1时

您提出了一个很好的问题！我们确实不知道具体的 n 值（快指针绕环的圈数）。让我更清晰地解释：当入口节点很远，可能快指针早就到达环而且转了好几圈了

为什么 n 的具体值不重要

1. 我们证明了：a = (n-1)(b+c) + c，其中 a 是头到环入口的距离，b+c 是环的周长。

2. 关键点：无论 n 是多少（1, 2, 3…），等式右边 (n-1)(b+c) + c 都表示：

   • 先在环上走 n-1 个完整的圈（即 (n-1)(b+c)）
   • 再从相遇点继续走 c 步

3. 这意味着：从相遇点走 c 步（可能再加上若干个环的周长）一定会到达环入口。

4. 同样，从链表头走 a 步也会到达环入口。

5. 由于 a = (n-1)(b+c) + c，如果同时：

   • 从链表头开始走
   • 从相遇点开始走
   • 都用相同的速度（每次走1步）

   那么这两个指针会同时到达环入口！

6. 一个放到头节点走到入口节点 另一个从相遇点走到入口节点在转了几个整圈

实际上 n 的值怎么确定

在实际的链表环检测中，n 值由快慢指针首次相遇时决定，但我们不需要计算它：

• 在标准链表（环不会特别大）中，通常 n=1。
• 即使 n>1，算法也能正确工作：
  • 快指针在相遇时可能多走了几圈
  • 但在第二阶段，从相遇点出发的指针会沿着相同的路径（可能走几圈）最终到达入口